量子力学作业参考答案(刘觉平)

习题一

1. 计算下列情况的Einstein-de Broglie 波长，指出哪种过程要用量子力学处理：

（1）能量为0.025eV 的慢中子24n 1.6710g m -=?（）被铀吸收；

（2）能量为5MeV 的α粒子穿过原子246.6410g m α-=?（）；

（3）飞行速度为100m /s 质量40g 为的子弹的运动。

解：（1）由242220m c p c E +=

注意到：2851.503109.3810n m c J Mev -=?=?>>0.025ev 得2

2k p E m = 利用Einstein-de Broglie 关系

h

p λ=

得：0.181nm λ=

而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181nm 小，因此要用量子力学处理。

（2）由242220m c p c E +=

注意到：2855.97610 3.7310m c J Mev α-=?=?>> 6.4fm λ=

得h εν=

利用Einstein-de Broglie 关系

h p λ

=

得： 6.4fm λ=

这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。

（3）显然子弹不是相对论的，故可利用p mv =。

代入Einstein-de Broglie 关系 h p λ

= 得：341.6510m λ-=?，这比子弹的运动尺度小的多，不需用量子力学处理。

2. 两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对.如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

解：若会发生这种转化，由能量守恒的限制，两个光子的能量必须要大于正负电子对的静能即202 1.022e E m c Mev ==。

光子能量h εν=，得到min 2.42fm λ=。

3. 考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕。利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置。在下列各情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变

化的草图，给出简单的解释。

（1）A 缝开启，B 缝关闭；

（2）B 缝开启，A 缝关闭；

（3）两缝均开启。

（4）将Stern-Gerlach 装置连在缝上，使得只有1S 2

x =电子能通过A ，同时只有1S 2

x =-电子能通过B 。 （5）只有1S 2x =能通过A ，同时只有1S 2

x =电子能通过B 。如果使束流强度低到在任一时刻只有一个电子能通过该装置，结果有什么变化？

解：（1）

高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生单缝衍射，出现类似光衍射的强度分布。

（2）

O 点为正对狭缝B 的中心位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生单缝衍射，出现类似光衍射的强度分布。

（3）

O 点为正对狭缝B 的中心位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生干涉，出现类似光干涉的强度分布。

（4）

0点为AB 狭缝中点正对位置。高度代表强度。从AB 经过的电子的状态不相同，而0+-=即发生干涉概率为0.图像为（1），（2）的简单叠加。

（5）

0点为AB 狭缝中点正对位置，高度代表强度。一个电子所具有的波动性决定了强度的分布，这与多个电子的累加无关。

4. 设Ω为对应力学量ω的算符，其本征值为一系列离散值：{}i a ，现对量子态()x ψ的大量复制品进行关于ω的重复测量，所得ω的实测值：（1）必为离散的；（2）不一定离散的。而每单次测量中，所得ω的实测值：（3）必是Ω的本征值；（4）可以为本征值以外的某个值。指出以上各种答案的对和错。

解：（1）对（2）错（3）对（4）错。每一个本征态对应一个物理量，测量前系统以一定的概率分布处于不同的本征态，但一旦去测量时系统状态就确定了下来，是某个本征态，每一个本征值对应一个物理量，这个物理量就是物理量算符的本征值，其本征值为一系列离散值，必然有所得ω的实测值为离散的，也不可能是本征值以外的某个值。

5. 试证: 对于任意算符,,,A B C D 有

[,]{,}{,}{,}{,}AB CD AC D B C A DB A C B D C D A B =-++- 式中，[,]A B AB BA ≡-，{,}A B AB BA ≡+.

解：等式左边为：

[],AB CD = ()()AB CD CD AB -=()()AB CD CD AB -

等式右边为：

{,}{,}{,}{,}AC D B C A DB A C B D C D A B -++-

=()()()()AC DB BD A CB BC D A CB BC D C DA AD B -+++-+++

=ACDB ACBD ACBD ABCD ACBD ABCD CDAB CADB --++++-- = ABCD CDAB -=左边

因此等式成立。

习题二

6. 将2?2矩阵X 写成0X a a σ=+? 式中，σ是Pauli 矩阵，123(,,)a a a a =，

而0123,,,a a a a 都是数。试用矩阵X 表示出0123,,,a a a a 。

解： 301i i i X a I a σ==+∑03121203a a a i a a i a a a +-??=??+-??

得：()()()()

1,0112211221Im ,221311222a X X a Re X a X a X X =+===- 7．试证明：

a. 矩阵a σ?的行列式在下述变换下

??exp exp 22n n a a a i

i σσσσσφφ??????'?→?≡?- ? ?????下不变。假设方向矢量?n 沿z 轴正向. b. 试用i a 表示出i a '。 解：??=exp exp 22n n a a i i σσσσφφ??????'??- ? ????? 33=exp exp 22i i a σφσφσ-????? ? ?????22231212320000i

i i i a a ia a i e e e e a a φφφφ---???????????=?????????????+??

?-?

同取行列式得

det(a σ'?)=223121232200det()det 00

det()i

i

i i e e e a a ia a a e a i a φφφφσ--????????=????????-?????+??????=?

由于

312123a a ia a a ia a σ'''-??'?=??'''+??31212-3()()i i a a ia a e ia a e φφ??-??+-??

= 解之得112cos sin a a a φφ'=+ 222s i n c o s

a a a φφ'=-+ 33a a '= 9．假设Hilbert 空间由厄密算符A 的非简并本征态矢i a 所张成。

a. 试证 ()i

i

A a -∏ 是零算符。 b. 说明算符

i i j

j i

A a a a ≠--∏ 的意义。 解： （1）()i i A a α-∏1()n i j j i i

A a a a α==-∑∏

1()0n j i j

j i i a a a a αα

==-=∑∏

（2）由i k i j j i A a a a a ≠--∏k i k i j j i a a a a a ≠-=-∏可知当j k ≠，0k i k i j j i

a a a a a ≠-=-∏； 当j k =，k i k j i j

j i a a a a a a ≠-=-∏。由此可知此算符是选出矢量j a 部分 11．算符A （相应于物理量α）在

1φ和2φ中的测量值分别为12a a 和，算符B (相应于物理量β)在1χ和2χ中的测量值分别为b 1和b 2 ，而

(

)11223/φχχ=+ (

)21232/φχχ=-我们首先测量α，测得值为1a ；接着测量β，而后再测α。求测得值为1a 的概率。 解：测量α时，系统处于1φ态中，接着测量β时，得到1b 的概率为211413χφ= 得到2b 的概率为221

913χφ=，而后再测α，得到1a 概率为()()()()()1121112a b b a b a b P P P P P == 而()11211|413a b P φχ==，()12212|913a b P φχ==；得()144999713131313169

a P ??=+=?? 2-1. 在Hamilton 量2

()2p H V x m

=+分立谱的束缚定态n 满足 ,1,2,n H n E n n == 试证n 中 动量的平均值恒为零。

证明：由于[]()()222,,2x x p V m p i x H x V i p m p m ???+ ? ?????=+==??????? 而H 为Hermitian 算符，得

[](),0n x H n n xH Hx n =-=即 0n p n =

2-2在Hermitia …… 此处隐藏：11788字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……