2015年高考数学《新高考创新题型》之3：三角函数与解三角形(含精

之3.三角函数与解三角形（含精析）

一、选择题。

1．已知函数)(x f 的导函数图象如图所示，若ABC ?为锐角三角形，则一定成立的是（ ）

（A ）(cos )(cos )f A f B <

（B ）(sin )(cos )f A f B <

（C ）(sin )(sin )f A f B >

（D ）(sin )(cos )f A f B >

2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）

A.4

B.

C.

D.

3．如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ?的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）： ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a

则一定能确定A B ,间距离的所有方案的个数为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

4．已知2310000(sin sin sin sin )2000020000200002000020000

S π

π

πππ=?++++L L ，则与S 的值最接近的是（ ）

A ．99818.0

B ．9999.0

C ．0001.1

D ．0002.2

5．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=， 30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）

A.530

B.1030

C.934

D.9

35 6．过平面区域202020x y y x y -+≥??+≥??++≤?

内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记

APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )

1920 C.910 D.12

二、填空题。

7．若数列{}n a 满足),4,3,2(,11,21

1 =-==-n a a a n n ，且有一个形

如()12

n a n ω?=++的通项公式，其中ω、?均为实数，且0ω>，2π?<，则ω=________，?= .

8．设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当y x ≥时，

有)()sin 1(sin )()2(

y f x f y x f αα-+=+，则使等式

11()44f =成立的α的集合为 ．

9.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东 45，与观测站A 距离

里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北 (045)θθ<<的C 处，且4cos 5

θ=

，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．

10.如图,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B 后,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ= .

11．已知O 是锐角ABC ?的外接圆的圆心，且4π

=∠A ，其外接圆半径为R ,若

m R

b C

c B 21cos cos =?+?，则=m ____

12．观察下列一组等式： ①223sin 30+cos 60+sin 30cos 60=4，②223sin 15+cos 45+sin15cos 45=4

，

③223

sin45+cos75+sin45cos75=

4

，……，

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__

3．A.

【解析】根据图形可知，b a ,可以测得，角C B A ,,也可以测得，利用测量的数据，求解B A ,两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的B A ,两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定B A ,两点间的距离，故选A.

4．B.

【解析】根据题意可知，S 可近似看成2

200

sin cos |1xdx x ππ

=-=?， 又∵2310000(sin sin sin sin )2000020000200002000020000

S πππππ=?++++>L L 20sin xdx π?，

故选C.

5．D 【解析】由勾股定理知，20=BC ，过点P 作BC P P ⊥'交BC 于P '，连结P A '， 依题意，)20(tan π

θθ<<取最大值，点P '在点B 的左边，则P A P P '

'=θtan ，设)0(>='x x P B ， 因为 30=∠BCM ，则203-='x P C ，

在P AP Rt '?中，θtan x AP =，在P AB Rt '?中由勾股定理得222)203(15)tan (-+=x x θ

，

整理得33406251)203(225tan 2222

+-=-+=x x x x θ，

7．23

π；0 【解析】根据递推关系式11

12,,(2,3,4,)1n n a a n a -===-可得2341123

11111,,21121a a a a a a a ==-=====---，所以该数列{}n a 是周期数列，周期为3T =

，又因为()12

n a n ω?=++是该数列的一个通项公式，所以2233

T ππωω==?=，又因为当1n =

时，1212sin()2sin()3232

a ππ??=++=?+=，因为27||222636π

π

π

π

ππ???

所以由2sin()3π?+=可得2233ππ?+=或233ππ?+=，进而可得0?=或3π?=-；当3π?=-

时，213

32n a n ππ??=-+ ???，

此时当2n =

时，2211sin(2)13322

a ππ=?-+=≠-，不符合题意，舍去；当0?=

时，213

2n a n π??=+ ???，此时1,2,3n =时，分别得到12312,1,2a a a ==-=，满足题意，综上可知23

πω=，0?=. 8．

|2,6k k Z πααπ??=+∈???? 【解析】令1,0x y ==得：1()(1)s i n (1s i n )(0)s i n 2f f f ααα=+-=，令1,02x y ==得：

211()()sin (1sin )(0)sin 42f f f ααα=+-=，由11()4

4f =得：21sin 4α=，又角α的终边在第一象限，所以

1sin ,2α=

因而α的集合为|2,6k k Z πααπ??=+∈????. 9

．【解析】由已知，03sin ,45,5

BAC θθ=∠=- 所以，

0cos cos(45cos BAC θθθ∠=-）+sin ）， 由余弦定理得，22202cos(45BC AB AC AB AC θ=+-??-）

=800+100-210340?=,

故BC =，

该货船的船速为/小时．

12．223sin cos (30)sin cos(30)4

x x x x ++++= 【解析】解：观察下列一组等式：

①sin 230°+cos 2

60°+sin30°cos60°=3 /4 ，

②sin 215°+cos 245°+sin15°cos45°=3 /4 ，

③sin245°+cos 275°+sin45°cos75°=3/ 4 ，…，

照此规律，可以得到的一般结果应该是

sin 2（30°+x ）+sin （30°+x ）cos （30°-x ）+cos 2（30°-x ），右边的式子：3 /4 ， 故答案为：sin 2（30°+x ）+sin （30°+x ）cos （30°-x ）+cos 2（30°-x ）=3 /4