1.自主招生专题之函数的性质(答案)

1.自主招生专题之函数的性质

一、典型例题

1 6 6x x x 2x

例1.（2001年上海交大）x R，求f x 的最小值。 3

1 3

3

x x xx

6

ax2 8x b

例2.（2005年上海交大）y 的最大值为9，最小值为1，求实数a,b． 2

x 1

例3.（2011北约）求y |x 1| |2x 1| ... |2011x 1|的最小值。

例4.(2010年浙江大学)设集合M {x|f(x) x}，N {x|f(f(x)) x}. (1)求证：M N;

(2)若f(x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明.

【证明】（1）若M ，显然有M N成立；

若M ，任取x0 M，即有f(x0) x0， 从而f(f(x0)) f(x0) x0，即x0 N.故M N.

（2）若f(x)是一个在R单调递增的函数，一定有M N.证明如下： 若N ，则N M，又由（1）知M N，从而有M N.

若N ，任取x0 N，即有f(f(x0)) x0. 下证f(x0) x0，用反证法证明之.

若f(x0) x0，不妨设f(x0) x0，由于f(x)是一个在R单调递增的函数， 从而f(f(x0)) f(x0) x0，与f(f(x0)) x0.矛盾！ 同理f(x0) x0时，有f(f(x0)) f(x0) x0，矛盾！

故必有f(x0) x0，即x0 M，从而有N M.又由（1）知M N，从而有M N.

注意：这里“f(x)在R上单调递增”是十分重要的，此条件下，当N {x|fn(x) x}时仍有M N，

但若f(x)是R的减函数时，结论则未必成立，例如f(x) x，此时M {x|f(x) x} {0}， 而N {x|f(f(x)) x} {0,1}，此时M N.

例5.(2008年北京大学)已知a1 a2 a3 b1 b2 b3,a1a2 a2a3 a3a1 b1b2 b2b3 b3b1. 若min{a1,a2,a3} min{b1,b2,b3},求证：max{a1,a2,a3} max{b1,b2,b3}.

分析：由a1 a2 a3及a1a2 a2a3 a3a1，可以联想到韦达定理，可以先构造三次方程试试.

如果f(x) ax3 bx2 cx d的三个零点分别为x1,x2,x3,那么三次方程的韦达定理是什么？

设f(x) (x x1)(x x2)(x x3)展开得,比较对应的系数，

b

x x x ,123 a

c

得 x1x2 x2x3 x3x1 ,(三次方程韦达定理).

a

d

xxx .123 a

证明：设a1 a2 a3 a,a1a2 a2a3 a3a1 b,a1a2a3 c1,b1b2b3 c2

则函数f(x) x3 ax2 bx c1有三个零点a1,a2,a3;函数g(x) x3 ax2 bx c2有三个零点b1,b2,b3. g(x) (x b1)(x b2)(x b3).

由对称性，不妨设a1 a2 a,3b 1b 2b.由已知，得a1 b1.

32

b 即a0 g(a1) (a1 b1)(a1 b2)(a1 3)1. aa1 ba1 c2 0.

3

f(a1) 0, a1 aa12 ba1 c1 0,于是c1 c2,所以f(x) g(x).

3

所以,g(a )即0,3a (1b 又f(a3) 03a) (2b

3

a)(3b )

0.

}.

b3 a3 b1,a3 b,2a3 中至少有一个为负数 .

,3 a3 b30 即,a3 b.maxa{ 而b1 b2 b1a,2a,3 }

mab1xb{2b, 3,

例6.（2012年北大保送生考试试题）已知f(x)为实系数一元二次函数，

a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))为正项等比数列，求证：f(a) a。

例7.（2011年清华大学）已知函数y f(x)满足： (1)f(1) 1;(2) x [0,1],f(x) 0；

（3） x [0,1],y [0,1]且x y [0,1]，都有f(x y) f(x) f(y)。 求证： x [0,1],f(x) 2x。

例8.（2009年南京大学）设R为实数集，找出所有定义在R上且使得

f(f(x y)) f(x y) f(x)f(y) xy对所有实数x，y都成立的函数f（x）。

二、课堂练习

1.（2000年上海交大）已知f x 满足：f x 1 _______________。2

2.(2012北约)函数f(x) |x 2| |x| |x 1|的单调递增区间是_________.

1 f

x

，则f x 的最小正周期是

1 f x

3.函数f(x)

x2 1

的值域为 x 1

1

1

解析：设x tan , ，且 ，则f(x) cos

422tan 1sin cos

1

2sin( )

4

12

] (1, )． 设u 2sin( )，则 2 u 1，且u 0，所以 f(x) ( ,

u24

4.（2011年南京理工大学）已知函数f(x) xx a 1,若a (0,3)且f(x)在区间[1,2]上的最小值

．

为

319,则a 。或 224

。

5.(2009年南京大学)已知x R,f(x) 则f(x)的值域是 11联想到两点间的距离公式，知本题是求点P(x,0)到两点M( N(的

22距离之差的取值范围.从而值域为( 1,1).

6.（2000年上海交大）函数f x

x R 的反函数是___________。

x3 3x

y

2

三、课后作业

1.集合M由满足如下条件的函数

f x 组成：当x1, x2 1, 1 时，有

，以下关系

f x1 f x2 4x1 x2，对于两个函数f1 x x2 2x 5,f2 x

中成立的是 （ ）

A. f1 M,f2 M; B. f1 M,f2 M; C. f1 M,f2 M; D. f1 M,f2 M;

22

解析：f1 x1 f1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 4x1 x2．

f2 x1 f2 x2

，取x1

11, x2 ， 9003600

则f2 x1 f2 x2

x1 x2

20x1 x2 4x1 x2.答：D. 3060

2.(2012年上海财经)

分别记函数y xC1，定义在集合A上的函

11

(x )的图像为C2。若C1与C2关于直线y x对称，则集合A为 ( B ) 2x

A.[ 1,0)(0,1] B.[ 1,0)[1, ) C.( , 1](0,1] D.( , 1][1, ) y

3.（2001年上海交大）f1 x

4.（2011年南京理工大学）已知函数f(x)

2x 1

fn x ，fn 1 x f1 ，则f28 x =_______________. x 1

a 3bx sinx bxcosx

(a,b R),若f(x)在R上既有最

3 cosx

大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为6,则a b 。8

5. (2008年上海财经)函数y ax2 2(a 3)x a 2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有a的值之和为_____________. 答案：-14

解析：令ax2 2 a 3 x a 2 0,且x Z,a 0,a Z，令t x 1,t Z，则a

因a 0,则t

6t 4 2

t

2

，又t Z，所以t 0 3

1 t 0,x 1时，原方程不成立 2 t 0时，t 1,a 10，符合题意 t 2,a 4，符合 t 3,4,5,6,a Z，舍去

t 7,t2 6t 4,a Z，舍去

即a 10或 4

6.函数y x x2 3x 2的值域为______________．[1,) [2, )

32

x2 3x 2 x2 3x 2 y x 0．

y2 232

两边平方得(2y 3)x y 2，从而y 且x ．

22y 3

y2 2y2 3y 23

由y x y 0 0 1 y 或y 2．

2y 32y 32

y2 22

任取y 2，令x ，易知x 2，于是x 3x 2 0且y x x2 3x 2．

2y 33y2 2

任取1 y ，同样令x ，易知x 1，

22y 3

【解】y x

2

于是x 3x 2 0且y x x2 3x 2．

3

因此，所求函数的值域为[1,) [2, )．

2

7. (2011年上海财经)已知正方形ABCD的面积是36，AB平行于x轴，若顶点A、B、C分别在函数f1(x) logax，f2(x) 2logax，f3(x) 3logax的图像上，则a

8. (2012年上海财经)已知x R，函数f(x)满足f() f(x),f() f(2x)。若当

1x2x

x [1,2]时，f(x) (x 1)(x 2)，则函数y f(x)

_________.4

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