函数中存在性和任意性问题分类解析

函数的任意性和存在性问题

函数中存在性和任意性问题分类解析

湖北省阳新县高级中学 邹生书

全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考. 1.

上的值域

，的交集不空，即

，使得

.

，等价于函数

在

上的值域

与函数

在

例1 已知函

数和函

数，若存

在

，使得

解 设函数

当

时，

与

在

成立，则实数的取值范围是（ ）

上的值域分别为与，依题意.

，则

，所以

在

上单调递增，所以

即

当

时，

.

，所以单调递，所以即.

函数的任意性和存在性问题

综上所述 当

在上的值域.

时，

，故

在

，又，所以上的值域

在在上单调递增，所以

.

即

因为 2.对上的值域

，的子集，即

，使得.

，等价于函数

在

上的值域

是函数

在

，所以

或

解得

，故应选

.

例2(2011湖北八校第二次联考)

设

，.①

若

，使

使得

解 ①依题意实数

成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若，，

，则实数的取值范围为＿＿＿

的取值范围就是函数的值域.设，则问题转化

为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的

取值范围是

.

②依题意实数

的取值范围就是使得函数

的值域

是函数

的值域的子集的实数的取

值范围.

由①知

，易求得函数

的值域

，则

当且仅当

即

，故实数的取值范围是 例3已知求

的单调区间;(2)

若

，使

，且

.

，它们的定义域都是

，函数

，其中是自然对数的底数，

，若对任意的

.(1)

，总存在

，求实数的取值范围.

函数的任意性和存在性问题

解 (1)略;(2)

依题意实数

的取值范围就是使得在区间

集实数的取值范围.

当所以

因 ①当

时，

，故

在

上单调递增，所以

即

，由

得

.

时， 由即

得，于是

，故.

在

上单调递减，

上

的值域

是

的值域

的子

，于是.因为，则当且仅当，即.

②当

综合①②知所求实数的取值范围是 3.已

知

.

例4已知

，其中

.(1)若

是函数

的极值点，

是在闭区

间

的上连续函，则

对

使

得

，等价

于

.

时，同上可求得

.

求实数的值;(2)若对任意的

解 (1)略;(2) 对 当 因为

， 令

时，

，有

都有成立，求实数的取值范围.

，等价于有.

，所以在上单调递增，所以.

得，又且，.

函数的任意性和存在性问题

①当

得

②当

减

在

时，当

上单调递增，所

以。

③当

时

，

，所

以

在

上单调递减，所

以

.

令

时

，当

.

令

时

得

，所以

，

又

在

上单调递，所

以

时，

这与

，所以

矛盾。

在在

上单调递增，所以

.

令

得

，又，所以。

综合①②③得所求实数的取值范围是

另解 同上求得

，要证

。

时，

，即.

由上知求

需对参数进行分类讨论过程繁而长，其实可避免分类讨论，不等式恒成立问题往往转化最值问

题来解决，逆向思维，由

于

难求，

将

退回到恒成立问题:

证

时，

即恒成立，只需证当时，恒成立，

只需证

.因

为时

范围是

。

，故

，

令

得.

当

，所以

时，

当

，故所求实数的取值

点评 这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化，将一个需要分类讨论的最值问题

转化为另一个不需要分类讨论的最值问题

.

函数的任意性和存在性问题

练习：已知函数且在点

处的切线线恰好与直线

，

垂直.(1)求都有

，若函数的值;(2)

求函数

的图象经过点

的在

，

上最大

值和最小值；（3）如果对任意

4.

若对

的最小值即

例5(2010年山东)已知函数设

的取值范围.

解（1）略；（2）依题意于是问题转化为最值问题.

当时，

，①当

这与

矛盾.

②当

时，可求得

时，;当

时，

在

，当，

，使（这里假设

成立，求实数的取值范围.

，等价于

在上的最小值不小于

在上

存在）。

.(1)当

时，若对任意

，存在

时，讨论，使

的单调性;(2)，求实数

上的最小值不小于在上的最小值即，

，所以，所以当

时，

.

，则当

时，可求得，由得

时，可求得

，由

，由

得

.

得

这与

矛盾.③当

综合①②③得实数的取值范围是

.