北邮信通院电磁场与电磁波课件第五章

Chapter V. 静电场边值问题的解法 分离变量法 镜像法 有限差分法

§5.1 唯一性定理唯一性定理： 在每一类边界条件下，泊松方程和拉普拉斯方程 的解都是唯一的。

证明：设存在两个解 1 和 2 ,则 E1 1 , E2 2 , D1 E1 , D2 E2 。构造函数 Z ( 1 2 )( D1 D2 ) ,对其求散度并积分，则 V Zd V [( 1 2 )( D1 D2 )]d ( 1 2 )( D1 D2 ) dSS

(续 )

而

由于 D1 D2 ,故

Z ( 1 2 )( D1 D2 ) ( 1 2 ) ( D1 D2 )

Z ( E1 E2 ) ( D1 D2 )S

带入积分式有

V

( E1 E2 ) ( D1 D2 )d ( 1 2 )( D1 D2 ) dS3

(续 )

V

( E1 E2 ) ( D1 D2 )d ( 1 2 )( D1 D2 ) dSS

在边界面上边界条件相同，则无论 第一类边界条件： 1

2 S ; 第二类边界条件： n D1 n D2SS

S

都有

( E E ) ( D D ) d 0 1 2 1 2 V E1 E24

两个解相同，则解唯一，静电场唯一。

§5.2 分离变量法一、基本前提 边界面与坐标系的坐标面一致；或分段地 与坐标面一致

待求偏微分方程的解可以表示为三个函数 的乘积且每一个函数分别仅是一个坐标的 函数

( x, y, z ) f ( x ) g ( y)h( z ) ( r, , z ) f ( r ) g ( )h( z ) ( r, , ) f ( r ) g ( )h( )

二、直角坐标系中的分离变量法

电势函数的拉普拉斯方程为

2 2 0 2 x y z2 2 2

假设

( x, y, z ) f ( x ) g( y)h( z )带入上述拉普拉斯方程可得

f ( x ) g( y)h( z ) f ( x) g ( y)h( z ) f ( x) g( y)h ( z ) 0 用 f ( x ) g ( y)h( z ) 除上式得 f ( x ) g ( y) h ( z ) 0 f ( x) g ( y) h( z )6

上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数， 则有

d f ( x) 2 k x f ( x ) 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 2 dy d h( z ) 2 k z h( z ) 2 dz其中2 2 kx ky kz2 0

2

2

若对应的常数为实数，则解的形式应为三角函数

f ( x ) A1 sin(k x x ) A2 cos(k x x )若对应的常数为虚数，则解的形式应为指数函数 或双曲函数

f ( x ) A1 exp( x x ) A2 exp( x x ) f ( x ) A1 sinh( x x ) A2 cosh( x x) 式中 kx i x若对应的常数为零，则解的形式应为线性函数

f ( x ) A1 x A28

Example 1:求如图长方形体积内的电位

函数。 边界条件除了 z=c 面电位不为 Z 零外， 其他各方面表面电位都为 c 零，z=c 表面上给定的电位函 U ( x , y) 数为 U(x,y)。 Y 解： 对于边界条件要求 x=0,a b 平面上电位为零可知即是 a 要求 f(x)在 x=0,a 的平面 X 上为零。考察 f(x)的三种 形式：当要求 x=0 的平面上 f(x)=0 时，即排除了 指数函数形式；当要求 x=a 的平面上 f(x)=0 时， 排除了双曲函数形式。因此，只有 f(x)为三角函 数形式时才能满足边界条件的要求，即： 9

f ( x ) A sin(k x x )且

n kx a般情况下，f(x)的最一般解为

n 1,2,3, 2

本征值与本征函数； 若令 k x

,则有 n

2a ; 一

n f ( x ) An sin( x) a n 1同样为了满足 y=0,b 处的边界条件，g(y)解的形式为

m g ( y) Bm sin( y) b m 1

m 其中 k y b

m 1,2,3,

对于 k z 则应满足

n m kz i ( k k ) i i z a b 考察 h(z) 的几种解的形式，只有 h(z)=sinh( zz)的形式才能满 足电位在 z=0 面上为零的边界条件。因此，电位函数解的形 式为2 2 x 2 1/ 2 y

2 1/ 2

n m n m An Bm sin( x ) sin( y) sinh a b n 1 m 1 a b 带入 z=c 时 =U(x,y )的边界条件则可以确定上式中常数 2

2 1/ 2

z

n m U ( x , y) C nm sin x sin y a b n 1 m 1 4 a b n m C nm U ( x , y) sin x sin y dxdy ab 0 0 11 a b

Example:例 5.4(Page. 126) 解：写出四个边界条件 y=0, 0 ; y=b, 0

0 x=0, x

x=a, U 0

由边界条件 可知，g(y)应该具有三角函数 的形式，即g ( y ) C1 sin k y y C2 cos k y y

由边界条件 可知 C2=0, 所以 y 方向的本征 函数选择g ( y ) C1 sin k y y12

再由 可知 g (b) C1 sin k y b 0 ,即必须有 k y b n , n 1,2,3, n ky b 最终 y 方向的本征函数 g(y)为： n g ( y ) C1 sin b y2 2 k k 由上述结果和 x 所 y 0 可知 k x 应为虚数，

以 x 方向的本征函数为指数函数或双曲函数。 由边界条件 可知，x 方向的本征函数 f(x)在13 x=0 点出现极值， 所以指数函数和正弦双曲都

不满足条件，f(x)只能取余弦双曲的形式，即 n f ( x ) C2 ch x b

所以，最终电位解的形式应为： n x, y f ( x ) g y C1C2 ch b n 1 n 1 n n Cn ch x sin y b b n 1

n x sin y

b

由边界条件 可知： n n U 0 Cn ch a sin y b b n 1 n an sin y b n 1

三、柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的拉普拉斯方程 1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z 若场与 z 无关且具有轴对称性，则其解为

C1 ln r C2若场仅与 z 方向无关(二维情况),则拉普拉斯方程演 化为 2 1 1 0 r 2 2 r r r r 假设解具有 R( r ) ( ) 的形式，带入上式得15

( ) R( r ) R( r ) 2 ( ) 0 r 2 2 r r r r r R( r ) 1 2 ( ) 0 r 2 R( r ) r r ( ) 上式中两项分别仅为 r 及 的函数，若对所有 r 及 都成立，则 2 2 每一项必须等于常数。令第一项常数为 k ,第二项常数为- k , 则上述方程变成两个分立方程 2 d R dR 2 2 r r k R 0 2 dr dr 2 d 2 k 0 2 d 16