信号与系统习题解答3

信号与系统英文版答案

信号与系统习题解答3

3.1 已知周期信号x t 为实函数，T=8，其不为0的付氏系数为：

a1 a 1 2，a3 a 3* j4；请将x t 表达为下列形式：

x t

k 0

Akcos kt k

解：因为x t 为周期信号，可以表达为付氏级数形式

x t

k 0

ake

jk 0t

0

2 T

4

将已知的ak值代入，利用欧拉公式可得：

j j

x t 2 e4 e4

3

j3 j j4 e4 e4

3

4cost 8sint 4cost 8cos t

4442 4

3

3.3 将周期信号x t 2 cos式 x t

2 3

t 4sin

5 3

t表达为付氏级数形

k 0

ake

jk 0t

，求出基波频率和付氏系数。

解：利用欧拉公式可得：

2 2 j j1

x t 2 e3 e3

2

5

j5 j j2 e3 e3

所以： 0

ak 0。

3

，a0 2，a2 a 2

12

，a5 a 5* j2，其余

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3．5 设x1 t 为连续时间周期信号，基本频率为 1，付氏级数系数为ak。若

x2 t x1 1 t x1 t 1 ，x2 t 的基本频率 2与 1有什么关系？x2 t 的付氏级数

系数bk与ak有什么关系？

解： 从x1 t 变化到x2 t ，涉及的运算包含时间平移，时间反折和相加运算，前两个运算对信号的周期和频率不发生影响，而两个相同频率信号相加，频率不会改变，所以： 2 1

利用表3.1的运算性质，可以得到：若x1 t ak，则有：

x1 t 1 ex1 1 t e

jk 1

ak

1

jk 1

a k

jk

bk e ak a k 所以：x2 t

3.8 写出两个不同的满足下列性质的信号：

1．x t 为实奇函数；

2．x t 为周期函数，基本周期T 2，付氏级数系数为ak； 3．当k 1时，ak 0； 4．

解：根据2，该信号基本频率为 0 ；

根据3，该信号可以表达为：x t a0 a1 ej t a 1 e j t；

根据1，该信号可以表达为：x t a1 ej t a1 e j t a1 j2sin t Asin t； 根据4可得到：A 2，A 2

2

k

3.26 设x t 为周期信号，其付氏级数系数为ak 1

j 2

k 0k 0

2

12

2

x t dt 1。

2

，利用付氏级

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数性质回答下列问题： 1．x t 是否为实函数？ 2．x t 是否为偶函数？ 3．

解： a0所对应的函数为实偶函数（常数信号）；原信号去除常数后的信号为虚偶函数；

所以x t 不是实函数，是偶函数

对信号进行微分，常数项消失，jk ak

k

0 1 2

k

ddt

x t 是否为偶函数？

k 0k 0

成为实奇函

数，对应的时间信号应为虚奇信号，所以，

ddt

x t 不是偶函数。

3.22 确定下列信号的付氏系数。

（a）-（a） 解：对于图示信号，T 2， 0 ，a0 0 微分：

dxdt

1 2 2 t 1

2Tejk

jk

变换：jk ak

ak 1

k

1 k 0

k 1

（a）-（b） 解： 对于图示信号：

T 6，

0

3

，

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a0

12

dxdt

22

两次微分：

6 t 2 6 t 2 6 t 1 6 t 1

2

2 2

jk jk1 33

变换： k ak e e

6 3

j k jk e3 e3

ak

3

k

2 3

2

2

cosk cosk 33

k 0

（a）-（c） 解：对于图示信号：

T 3， 0

，a0 1

两次微分：

dxdt

2

2

3 3 t 3 3 t 1

2

2 3k

j

2

k ak 1 e变换：

3

ak

j92 k

2

e

j

3

k

sin

3

kk 0

（a）-（d） 解：对于图示信号，T 2， 0 ，a0 1 函数：x t 2 t 2 2 t 1 变换：ak

12

1 2e

jk

1 1

2

k

k 0

（a）-（e） 解：对于图示信号：

T 6，

0

3

，

a

0 0

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微分：

dxdt

6 t 2 6 t 2 6 t 1 6 t 1

j k jk e3 e3

2 2

jk jk 133 变换：jkak e e

36

j 2

ak cosk cosk

k 33

k 0

（a）-（f） 解：对于图示信号：

T 3，

0

2 3

，

a0 1

微分：

dxdt

2 3 t 3 t 1 3 t 2

2 4

jk jk 133

e变换：ak 2 e

j2 k

k 0

(b) 已知x t e

t

1 t 1，为周期信号，周期T=2。

解：根据题意，x t 如图所示，

T 2 ， 0 ， a0

12

1

1e

1

edt

t

1 1

e 2 e

dxdt

x b 2 t 1

k

设b e （跃变幅度），则微分得到：

b2e

jk

变换得到： jk 1 ak

sin t

（c）已知x t

0

1 1 1 ，ak e

2 e jk 1

k 0

0 t 22 t 4

，为周期信号，周期T=4。

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解：根据题意，x t 如图所示，

T 4 ， 0

2

2

， a0 0

2

两次微分：

变换：

dxdt

2

x

2

4

t 4 t 2

2

jk

k ak 1 e

4 2

ak

1

4 k

2

1 1

k

k 0

3.11 对信号x n 给定下列信息，证明x n 值。

1. x n 为实偶函数；

2．x n 周期为10，付氏级数系数为ak； 3．a114．

ak为实偶函数，解：根据1和2，周期为10；信号基本频率B

2 N

Acos Bn C ，确定各常数

5

9

110

n 0

x n 50

2

5

；

根据周期性和对偶性可以得出：a11由于余ak

0

jn j n

因此：x n 5 e5 e5 10cosn

5

a1 a 1 5

110

9

n 0

x n

2

k N

ak

2

50 2a1

2

，可以得出在该对称周期内，其

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对比可得：A 10

B