随机过程课件第二章

随机过程课件第一章

第二章 随机过程的概念与基本类型随机过程的定义和统计描述 随机过程分布律和数字特征 复随机过程 随机过程基本类型

随机过程课件第一章

随机变量 在每次试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。 在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中随时间t而改变的随机变量。 例如，接收机的噪声电压，

此外，还包括生物群体的增长问题； 电话交换机在一定时间段内的呼叫次数； 一定时期内的天气预报； 固定点处海平面的垂直振动；等等

随机过程课件第一章

在第Wi次试验中测量获得的噪声电压Xt是一 个样本函数

随机过程课件第一章

w=1

X (t )

w=2

X (t )

w=3

X (t ) (tX (t )

w=k

w=n

X (t )t1 t2

随机过程课件第一章

定义2.1

设(Ω,F,P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t∈T, 由一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X(t,e),t ∈T}是 ( ,F,P)上的随机过程。 随机过程{X(t,e),t ∈T}可以认为是一个二元函数。 对固定的t,X(t,e)是( ,F,P)上的随机变量； 对固定的e, X(t,e)是是随机过程{X(t,e),t ∈T}的一个样本函数。

随机过程课件第一章

X(t)通常表示为在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合 称为状态空间或相空间。 通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程 的类型。

在时间和状态上都连续

连续型随机过程

随机过程课件第一章

在时间上连续， 状态上离散

离散型随机过程

随机过程课件第一章

在时间上离散， 状态上连续

连续型随机序列

随机过程课件第一章

在时间上离散， 状态上离散

离散型随机序列

随机过程课件第一章

联合分布函数 有限个随机变量 统计规律

随机过程

有限维分布函数族

统计规律

设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T,随机向量 (X(t1),X(t2), …,X(tn))的联合分布函数为

Ft1 ,,t n ( x1 , x 2 , , x n ) = P{ X (t1 ) ≤ x1 , X (t n ) ≤ x n }这些分布函数的全体

F = { F t1 , t n ( x1 , x 2 , x n ), t1 , t 2 , , t n ∈ T , n ≥ 1}称为XT={Xt,t ∈T}的有限维分布函数。

随机过程课件第一章

有限维分布函数的性质对称性 对于{t1,t2, …,tn}的任意排列 {ti1 , ti2 ,, tin }

Ft1 , , t n ( x1 , x 2 , , x n ) = Ft i相容性 当m<n时，

1

, , t in

( x ti , , x ti )1 n

Ft1 ,,t m ( x1 , x2 , , xm ) = Ft1 ,,t m ,,t n ( x1 , x2 , , xm , ∞,, ∞)

随机过程课件第一章

对称性 有限维分布函数族 相容性

Kolmogorov存在定理 设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F,则必存在概率 空间( ,F,P)及定义在其上的随机过程{X(t),t∈T},它的有限维分布函数 族是F。

随机过程课件第一章

数字特征设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T,EX(t)存在，则称函数

m x ( t ) = EX ( t ),

def

t∈T

为XT的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。 若对任意t∈T,E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程，而称

B X ( s , t ) = E [{ X ( s ) m X ( s )}{ X ( t ) m X ( t )}],

def

s

, t ∈ T

为XT的协方差函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。

D X ( t ) = B X ( t , t ) = E [X ( t ) m X ( t ) ]2 ,

t∈T

为XT的方差函数，反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度。 R X ( s , t ) = E [ X ( s ) X ( t )], s,t ∈ T 为XT的相关函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。

随机过程课件第一章

对于二阶矩随机过程，其协方差函数和相关函数一定存在，且有如下 关系：

B X ( s , t ) = R X ( s , t ) m X ( s ) m X (t )例题2.5 设随机过程

X (t ) = Y cos( θ t ) + Z sin( θt ),求X(t)的均值函数和协方差函数。 例题2.6

t>0

其中，Y和Z是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0,DY=DZ=σ2,

设随机过程X(t)=Y+Zt,t>0,其中Y,Z是相互独立的N(0,1)随机变量，求 {X(t),t>0}的一、二维概率密度族。

随机过程课件第一章

互协方差函数

两个随机过程之间的关系互相关函数 定义： 设{X(t),t∈T},{Y(t), t∈T}是两个二阶矩过程，则称

B XY ( s, t ) = E[( X ( s ) m X ( s ))(Y (t ) mY (t ))], s , t ∈ T 为{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互协方差函数，称

R XY ( s , t ) = E [ X ( s )Y ( t )] 为{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互相关函数。

随机过程课件第一章

两个随机过程{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互不相关定义

B XY ( s , t ) = 0互协方差函数与互相关函数之间的关系

B XY ( s , t ) = R XY ( s , t ) m X ( s ) m Y ( t )

例题2.7 设有两个随机过程X(t)=g1(t+ε)和Y(t)=g2(t+ε),其中g1(t)和g2(t)都是周期 为L的周期方波，ε是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量，求互相关函 数RXY(t,t+τ)的表达式。 例题2.8: 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t),求W(t)的均值 函数和相关函数。