分类计数原理与分步计数原理 2

§ 10.1分类计数原理与分步计数原理

引例：某火车站，进站台需要上楼 ，该车站有楼梯4座，电梯2座，自动扶 梯1座。一位旅客要进站台，共有多少 种不同的走法？进站台共有(4)+(2)+(1)=(7) 种不同的走法。

问题一：1、从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙 地共有多少种不同的走法？

分析： 因为一天中从甲地到乙地有两类方法： 第一类方法，乘火车，有3种方法 第二类方法，乘汽车，有2种方法 所以，一天中从甲地到乙地共有3+2=5种方法

思考： 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号，总共能够编出多 少种不同的号码？因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字 0 ~ 9共有 10个, 所以总共可以编出 26 10 36种不同的号码 .

探究 你能说说这个问题的特 征吗?上述问题中 , 最重要的特征是" 或" 字的出现 : 每个座位 可以用一个英文字母或 一个阿拉伯数字编号 .由于英文 字母、阿拉伯数字各不 相同,因此用英文字母编出的 号 码与用阿拉伯数字编出 的号码也是各不相同的 .

分类计数原理：完成一件事情，有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第 二类办法中有m2种不同的方法，……,在 第n类办法中有mn种不同的方法。那么完 成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 ★分类计数原理也称加法原理如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共 元素，则分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目 相加，便得出所要计数的对象的总数。

例题讲解：例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ B大学 数学 会计学 信息技术学 法学

变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融 学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共 有多少种？ A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学

生物学化学 医学

金融学人力资源学

物理学工程学

注意：分类加法计数做到不重，不漏！

★使用分类计数原理中的“分类”要注意 ： 1.首先要根据问题的特点确定一个

分类的标准，标准必须一致，而且全面 、不重不漏！ 2.每一类办法中的任何一种方法 都能将这件事情从头至尾完成。 3.完成这件事的任何一种方法必 属于某一类，并且分别属于不同两 类的两种方法都是不同的方法.

思考、用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉

伯 数字，以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给教室 里的座位编号，总共能编出多少个不同的号 码？

字母

数字1 2 3 4

得到的号码A1 A2

A3A4

A

56

A5A6

7树形图 8

A7A8

9

A9

我们还可以这样来思考 : 由于前6个英文字母的任意一个 都能与9 个数 字中的任何一个组成一 个号码, 而且它们各不 相同,因此共有6 9 54 个不同的号码 .

探究 你能说说这个问题的特征吗?上述问题中, 最重要的特征是 " 和" 字的出现 : 每个座位由一个英文字母和一个阿拉伯数 字构成, 每个英文字母与不同的数字组成的 号码是各不相同的.

分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法 ，做第二步有m2种不同的方法，…,做第n 步有mn 种不同的方法。必须经过每一个步骤 ，才能完成这件事，那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 ★分步计数原理也称乘法原理。如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于 前面几步的每一种完成方式，下一步有相同数目的做法， 则依次计算第一步的做法数目，第二步的做法数目，…, 最后一步的做法数目，然后把各步的做法数目相乘，便 得出所要计数的对象的总数。

例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？ 例3、肥城市的部分电话号码是0538323××××,后面 每个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的 电话号码? 分析:

0538323 分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

N=4+3+2=9(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

N=4 ×3×2=24

例4

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，

分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

3× 2

(3)从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法?

解：需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本， 有4×2=8种方法； 有3×2=6种方法； 第三类：从二、三层各取一本， 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26

答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同 的取法.