7.6 玻尔兹曼分布律(补充)

大学物理学(上)

7.6 玻尔兹曼分布律一、玻尔兹曼能量分布律麦克斯韦速度分布函数 其指数仅包含分子运动动能

dN v x v y v z N

m m v 2 v 2 v z2 2 kT x y dv x dv y dv z e 2 kT

3 2

m 2 1 2 2 v x v y v z mv 2 k 2 2

问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布 将如何？ 玻尔兹曼的推广分子按速度的分布不受力场 的影响，按空间位置的分布 却是不均匀的，依赖于分子 所在力场的性质。 用εk+εp 代替εk,用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴构成的六维空间中的 体积元 dxdydzdvxdvydvz 代替速度 空间的体积元dvxdvydvz

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玻尔兹曼能量分布律当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间x~x+dx、y~y+dy、 z~z+dz内，同时速度介于vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz内的分子数为

dN x , y , z ,v x ,v y ,v z

m K P kT n0 dxdydzdv x dv y dv z e 2 kT

3 2

n0 为在ε p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。3 单位体积分子数n m 2 K P kT dN x , y , z n0 e dxdydz e 2 kT

kT

dvx dv y dvz

n0 e P

kT

dxdydz3 2 kT

m K 2 kT e

dvx dv y dvz 1

n

dN x , y , z dxdydz

n0e

P kT

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二、重力场中粒子按高度的分布(εp= mgh)

n n0e

mgh kT

n0e

gh RT

重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子 均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是 重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平 衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体 分子数密度随高度的增加按指数规律减小；

分子质量越大，受重力的作用越大，分

子数密度减小得越迅速； 对于温度较高的气体，分子的无规则运 动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓 慢。

法国物理学家佩兰据此测量 了玻耳兹曼常数进而得到了 阿伏伽德罗常数，于1922年 获得了诺贝尔物理奖。

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三、重力场中等温气压公式假设： 大气为理想气体,不同高度处温度相等,重力加速度 也不变化

利用：可得:

p = nkT

n n0e mgh kT

mgh kT

n0e

gh RT

p p0e

p0e

gh RT

每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际， 可粗略估计高度变化。

kT p0 RT p0 h ln ln mg p g p

近似估计高度