高三数学《专题八 圆锥曲线背景下的最值与定值问题》

专题八 圆锥曲线背景下的最值

与定值问题

【考点搜索】

【考点搜索】1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值

域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围. 2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题(如斜率、两点的距离等).

【课前导引】

【课前导引】1. 设P(x, y)是曲线C:x2+y2+4x+3=0 x 上任意一点，则 的取值范围是 ( ) yA. [ 3 , 3 ]B. ( , 3 ) [ 3 , )

3 3 C. [ , ] 3 3

3 3 D. ( , ] [ , ) 3 3

[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线的斜率. 画图可知是C.

[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线的斜率. 画图可知是C.

[答案]

C

x y 2. 若动点( x , y )在曲线 2 1 4 b 2 (b 0)上变化, 则x 2 y的最大值为 ) ( b2 b2 4 ( 0 b 4) 4 ( 0 b 2) A. 4 B. 4 2b 2b ( b 4) ( b 2)

2

2

b C. 4 4

2

D. 2b

x y 2. 若动点( x , y )在曲线 2 1 4 b 2 (b 0)上变化, 则x 2 y的最大值为 A ) ( b2 b2 4 ( 0 b 4) 4 ( 0 b 2) A. 4 B. 4 2b 2b ( b 4) ( b 2)

2

2

b C. 4 4

2

D. 2b

【链接高考】

【链接高考】[例1] 设 抛 物 线y x 2过 一 定 点A( a , a 2 )( a 2 ), P ( x , y )是 抛 物 线 上 的 动 点 . (1) 将 AP 表 示 为 关 于 的 函 数f ( x ), 并 x 求 当x为 何 值 时 f ( x )有 极 小 值 , ; ( 2) 设 (1)中 使f ( x )取 极 小 值 的 正 数 为 x x 0 , 求 证 ： 物 线 在 点 ( x 0 , y0 )处 的 切 线 与 抛 P 直 线AP0垂 直.2

[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.

[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识. [解析] (1) AP ( x a , y a ) ( x a , x a )2 2 2

则 f ( x ) AP ( x a ) ( x a )2 2 4 2 2

2

2 2 4 2

x (1 2a ) x 2ax a a . f ' ( x ) 4 x 2(1 2a ) x 2a .3 2

令f ' ( x ) 0得 : 2 x (1 2a ) x a 0,3 2

即

( x a )( 2 x 2 2ax 1) 0.

a 2 , 此 方 程有 三 个 根 1 a , x a a2 2 a a2 2 x2 , x3 , 2 2 1 当x a时, f ' ( x ) 0; a a 2 2 当 a x 时, f ' ( x ) 0; 2 a a2 2 a a2 2 3当 x 时, 2 2 f ' ( x ) 0;2

a a 2 4 当x 时, f ' ( x ) 0. 2 2 a a 2 当x a或x 时, 2 f ( x )有极小值 .2

a a 2 4 当x 时, f ' ( x ) 0. 2 2 a a 2 当x a或x 时, 2 f ( x )有极小值 .2

a a 2 ( 2)由(1)知 : x0 ,则 2 2 2 x0 a 直线AP0的斜率k1 x0 a x0 a2