希望杯初中数学竞赛培训试题

希 望 杯 培 训 题

一、选择题：（以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的。）（5分每题）

1．已知x1，x2， x3的平均数为5，yl，y2，y3的平均数为7，则2xl+3yl，2xz+3y2，2x3+3y3的平均数为 ( ) (A) 31 (B)

3193

(C) (D) 17 35

2．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图(1)、图(2)所示的两个天平处于平衡

状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置 ( ) (A) 3个球 (B) 4个球 (C) 5个球 (D) 6个球

3．当x分别取值

1111

，，，…，，1，2，…，2005，2006，2007时，2007200620052

1 x2

计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） 2

1 x

（A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007.

4、当5个整数从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据的惟一众数是6，那么这5个数最大的和可能是（ ）

A、21 B、22 C、23 D、24

5．已知一列数al，a2，a3，…，an,…中，a1=0，a2=2al+1，a3=2a2+1，···，an+l=2an+l，···． 则a2004－a2003的个位数字是( )

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

6．如图是正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如左图中 就视为同一种图案，则不同的涂法有 ( ) (A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种 二、填空题：（5分每题）

7．一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍， 则这个多边形是___________边形。

8．a，b，c为△ABC的三边3a+6ab-3ac-6abc=O， 则△ABC的形状为_____________________。

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3

2

2

9．如图，四边形ABCD为正方形,AB为边向正方形外 作等边三角形ABE．CE与DB相交于点F， 则∠AFD=____________度。

10．若有理数x、y(y≠0)的积、商、差相等， 即xy=

x

=x-y，则x=_________,y=____________。 y

11.有3堆硬币，每枚硬币的面值相同。小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放人第3堆；最后从第3堆中取出和现存的 第1堆一样多的硬币放人第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有硬币________枚， 第2堆有硬币__________枚，第3堆有硬币___________枚。

12．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是___________________。 三、解答题：

13．已知a,b,c为实数，且a+b+c-1 -1│a-2 +2b+1 -4，求：a+2b-3c的值。

14．如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1。若六边形(可以是凸的或凹的)的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的这样的六边形。 …………10分题

15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求证：DC=BD+AB ……10分题

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16．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，BC+CD=10，

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）若∠ADC=60°，求四边形ABCD的周长。 ……………10分题

C

B

A

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参考答案

一、选择题： 1、A 2、C 3、C 4、A 5、B 6、C

二、填空题:

7.十三 8．等腰三角形 9．60 10．一

1

，一l 2

11．22，14，12 12．(1，1，2)或(0，3，1) 注:填对1个只给2分． 三、解答题：

13．把a+b+│c-1 －1│a-2 +2b+1 －4变形得： [（a-2）-4a-2 +4]+[(b+1)-2b+1 +1]+ │c-1 －1│=0 即（a-2 －2）b+1 －1）＋│c-1 －1│=0

∴a-2 －2＝0b+1 －1＝0c-1 －1＝0 ∴a=6，b=0，c=2 ∴a+2b-3c＝0 14．注：符合条件的六边形有许多． 15．连BD

(1)四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD 11121

= AB·AD+BC·CD=AB+ BC·CD 2222

111121222212 =+ BC·CD= ( BD+2BC·CD) = ( BC+CD+2BC·CD)= (BC+CD)= ×10=25

244444(2)延长AB和DC交于点E. 设AB=AD=x，∵∠ADC=60°,∴DE=2x,AE= 3 x 3-1

∴3 -1)x 在Rt△BCE中，∵∠E=30° ∴BC=，

233333+1

EC=3 BC=∴CD=DE-EC=2x-222 ∵BC+CD=10, 3-13+110

，即3 x=10 ∴3 223

E

2

2

B20

∴四边形ABCD的周长=2x+10=3 +10

3

16、(1)证明：在BC上取点E，使BD=DE,

∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠AEB=∠ABC=2∠C ∴∠C=∠EAC ∴EC=EA=AB, ∴CD=DE+EC=BD+AB

222

（2）由（1）得：∵a-4bc=(b+c)-4bc=（b-c）

2

又c>b,即c≠b,∴（b-c）>0,∴方程x2-ax+bc=03bc2

(3)设方程的两根为k,2k，代入得k2-ak+bc=0①及4k-2ak+bc=0②,由②－4×①得k= ,代入

2a

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3bc23bc222

①得（ ）－a·化简得9bc=2a，又∵a=(b+c)

2a2a

代入得2b-5bc+2c=0,(2b-c)(b-2c)=0∵b<c ∴c=2b

∵AD⊥BC ∴∠B=60°∴∠C=30°,∴∠BAC=90°∴△ABC为直角三角形。

2

2

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