高数第一章第九节 连续函数的运算法则与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算法则 与初等函数的连续性四则运算的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数的连续性 小结第一章 函数与极限1

连续函数的运算与初等函数的连续性

1、四则运算的连续性定理1 若函数 f ( x ), g( x )在点 x0处连续, 则

(1) 和(差)函数 f ( x ) g( x ), 也在点 x0连续;( 2) 乘积函数 f ( x ) g( x ), 在点 x0连续;

f ( x) ( 3) 如果g ( x0 ) 0, 则商函数 在点 x0连续. g( x )如,由于 sin x , cos x在 ( , )内连续,

故 tan x , cot x 在其定义域内连续.

连续函数的运算与初等函数的连续性

2、反函数与复合函数的连续性定理2 单调的连续函数 必有单调的连续反函数. 如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 2 2 故 y arcsin x 在[ 1 , 1 ]上 也是单调增加且连续.同理, y arccos x 在 [ 1 , 1 ]上单调减少且连续.y arctan x在( , )内单调增加且连续.

y arc cot x 在 ( , )内 单调减少且连续.

结论: 反三角函数在其定义域内皆连续

连续函数的运算与初等函数的连续性

定理3 设函数 y f [ g ( x)] 是由函数y f (u) 与函数u g ( x) 复合而成, U ( x0 ) D f g . 若 lim g ( x) u , 0o

而函数 y f (u) 在u u0 连续, 则x x0u u0

x x0

lim f [ g ( x )] lim f ( u) f (u0 ).

即：x x0

lim f [ g ( x)] f [lim g ( x)].x x0

注意 1. 在定理的条件下, lim 与f 可交换次序; 2. 变量代换 u g( x ) 的理论依据. 3. 把 x x0换成x 可得类似定理.

连续函数的运算与初等函数的连续性

ln(1 x ) 例 求 lim . x 0 x1 1 ln(1 x ) 解 lim lim ln(1 x ) x ln[ lim (1 x ) x] x 0 x 0 x x 0

ln e 1.

x 3 例：求 lim 2 . x 3 x 9ax 1 ( a 0, a 1). Ex.求 lim x 0 x

连续函数的运算与初等函数的连续性

设函数 y f [ g ( x)] 是由函数 y f (u) 与函数 u g ( x) 复合而成, U ( x0 ) D f g . 若函数 定理4

u g ( x)在x x0 连续, 且g ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u )在u u0 连续, 则复合而成 y f [ g ( x)]在点 x x0 也连续.

例如,

是由连续函数链y sinu 在 ( , )内连续

在 ( , 0) (0, )内连续.

复合而成 , 因此

在 ( , 0) (0, )内连续

y

1 y sin x

o

x

例.

设

均在

上连续, 证明函数

也在

上连续.

证:

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

根据连续函数运算法则 , 可知 连续 .

也在

上

机动

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结束

连续函数的运算与初等函数的连续性

3、初等函数的连续性(1) 三角函数及反三角函数 在它们的定义域内 是连续的; (2) 指数函数 y a (a 0, a 1) 在( , )内x

单调且连续; (3) 对

数函数 y log a x (a 0, a 1) 在(0, )内 单调且连续; loga x (4) 幂函数 y x a

在(0, )内连续; 讨论 不同值. (均在其定义域内连续 ) 基本初等函数在定义域内是连续的.

y a u , u log a x

连续函数的运算与初等函数的连续性

基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数 在定义区间内 连续函数经四则运算仍连续 连续 连续函数的复合函数连续

定义区间是指包含在定义域内的区间.

连续函数的运算与初等函数的连续性

注 初等函数求极限的方法x x0x 1

代入法.

lim f ( x ) f ( x0 ) ( x0 定义区间 )

例 求 lim sin e x 1.解 原式 sin e 1 1 sin e 1.1 x2 1 . 例 求 lim x 0 x

( 1 x 2 1)( 1 x 2 1) 解 原式 lim 2 x 0 x( 1 x 1) x 0 lim 0. 2 x 0 1 x 1 2

例. 求

解: 原式

例. 求1 1 )1 解: 原式 ( 1 arctan1

幂指函数: 形如 u(x)v(x) (u(x)>0, u(x) 1)的函数

若 lim u( x ) a 0, lim v( x ) b,则lim u( x ) v ( x ) a b .

注: 这里三个lim都表示在同一自变量变化 过程中的极限.

例 求 lim 1 2 x x 0

3 sin x

.

例 求 lim sin x cos x .x 0

1 x

例 求 lim cos x x 2 .x 0

1