6.2(1) 微积分的基本公式

微积分 高数

微积分的基本公式

一,引例 二,积分上限的函数及其导数 三,牛顿 – 莱布尼兹公式

1

微积分 高数

一,引例

在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数

s′(t) = v(t)

物体在时间间隔 内经过的路程为

∫T

T2

1

v(t) dt = s(T2 ) s(T ) 1

这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .

2

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二,积分上限的函数及其导数

定理1. 定理 若 则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt

a

Φ(x)

x ξ b x 证: x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x

o a

Φ(x + h) Φ(x) = lim f (ξ ) = f (x) ∴ Φ′(x) = lim h→0 h→0 h 3

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说明: 说明 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 变限积分求导:

d b( x) ∫a f (t)dt = f [b(x)]b′(x) dx

b( x) d b( x) d c ∫a( x) f (t) dt = dx ∫a(x) f (t)dt + ∫c f (t)dt dx

= f [b( x)]b′( x) f [a( x)] a′( x)

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例1. 求

0 0

cos2 x

(sin x) = 1 解: x→0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使

原式 = lime

解: 原式 =

∴b = 0.

c ≠0 , 故 a =1. 又由

～

, 得 c = 1. 2

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例3.

证明 只要证

在 证:

内为单调递增函数 .

F′(x) > 0

x 0

x f (x)∫ f (t) dt f (x)∫ t f (t) dt

0

x

( ∫0 f (t) dt )

x 2

2

=

f (x)∫ (xt) f (t) dt

x

( ∫0 f (t) dt )

0 x

=

f (x) (x ξ) f (ξ ) x

( ∫0 f (t) dt ) 2

x

>0

(0 < ξ < x)

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例4

上连续, 设 f ( x ) 在[0,1]上连续,且 f ( x ) < 1. 证明

2 x ∫0 f ( t )dt = 1 在 [0, 1] 上恰有一个解 上恰有一个解.

证 令 F (x) = 2x

1

x

Q F ( x ) ∈ C[0,1], 且 F ( 0 ) = 1 < 0 ,

F (1) = 1 ∫0 f ( t )dt =

∫0

x

f ( t )dt 1 ,

1

∫0 [1

f ( t )]dt > 0,

上至少有一个解; 所以 F ( x ) = 0 在[0,1]上至少有一个解; 又 Q F ′( x ) = 2 f ( x ) > 0, ∴ F ( x ) 在[0,1]上单调增加, 上单调增加

上至多有一个解; 所以 F ( x ) = 0 在[0,1]上至多有一个解;

所以 F ( x ) = 0 即原方程在[0,1]上恰有一个解. 证毕 上恰有一个解.

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三,牛顿 – 莱布尼兹公式

定理2. 定理 函数 , 则

∫a f (x) dx = F(b) F(a) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式)

故

x a

b

证: 根据定理 1,

F(x) = ∫ f (x) dx + C

因此 得

记作

8

∫a f (x) dx = F(x) F(a)

x

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例4. 计算

3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3 arctan(1) 2 1 1+ x 1 π π 7 = ( ) = π 3 4 12 例5. 计算正弦曲线

3

的面积 . 解: A = ∫ sin x dx

0

π

y

y = sin x

= cos x

π

0

= [11] = 2 o

π x

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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减 速停车, 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车, 问从开始刹

= 36×1000 (ms )=10( ms ) 3600

刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时,

2 2

即

得

故在这段时间内汽车所走的距离为

s = ∫ v(t) dt = ∫ (

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