河南省六市高中毕业班2015届第一次联考数学理试题(word版)

2015年六市联考一模数学试题（理）

第Ⅰ卷

一．选择题：

1．已知集合A {x|x2 1},B {x|log2x 0},则A B ( C) A．{x|x 1} B．{x|x 0} C．{x|x 1} D．{x|x 1或x 1} 2．如果复数( C )

A． 6 B．

2 bi

(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于1 2i

22

C． D．2 33

a7，则k （A ）

3．在等差数列 an 中，首项a1 0,公差d 0，若ak a1 a2 a3 A．22

B．23 C．24

D．25

xlnx

4．.函数y 的图象大致是（ B）

x

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是 (D ).

A．3 B．4 C．6 D．8

6.函数y cos( x ),( 0,0 )为奇函数，该函数的部分图像如 右图所示，A、B

分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数图像的一条对称轴为（C ） A．x

2

B．x

2

C.x 1 D．x 2

7. 已知正数x，y满足 A．1 B．8.若 A．

2x y 01

，则z 4 x ()y的最小值为( C )

2 x 3y 5 0

111

2 C． D．

16432

, ，3cos2 sin ，则sin2 的值为（D ）

4 2

111717

B． C． D． 18181818

9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个 几何体的体积是（D）

A．1 B．2 C．3 D．4

正视图

侧视图

，

c，若sinA 10.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b

，a

2，S△ABCb的值为（A）

A．

B.

C

． D

．2

x2y2

11．设双曲线2 2 1(a 0，b 0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交

ab

两渐近线于A,B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若

( , R),

A

．

3

，则双曲线的离心率为（ A） 16

D．

8352

12.若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关

于原点对称，则点对（A，B）是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，

B

．

C

9

x2 2x (x 0)

A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x) x 1 ，则f(x)的“姊

(x 0) x

e

妹点对”有 （C ）

A． 0个 B． 1个 C．2个 D．3个

第Ⅱ卷

二．填空题：

165)的展开式中的常数项为_____________． 0

ax2

14.已知三棱锥P ABC的所有棱长都相等1，则三棱锥P ABC的内切球的表面

13.己知a

(sint cost)dt，则(x

积 ．

6

2

15.已知点A（0，2），抛物线C1：y=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于4

1 lnxk

16. 已知f(x) ，g(x) (k N*)，对任意的c＞1,存在实数a,b满足

x 1x

0 a b c，使得f(c) f(a) g(b)，则k的最大值为3

三、解答题：

17.（本小题满分12分）

已知 an 是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5 45, a2 a6 14. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列 bn 满足：

b1b2

222

bn

an 1(n N*)，求数列{bn}的前n项和. 2n

解：（Ⅰ）设等差数列 an 的公差为d，则依题设d 0． 由a2 a6 14,可得a4 7．

由a3a5 45，得(7 d)(7 d) 45，可得d 2． 所以a1 7 3d 1．

可得an 2n 1． 4分

（Ⅱ）设cn

bn

，则c1 c2 2n

cn an 1.

即c1 c2 cn 2n，

可得c1 2，且c1 c2 cn cn 1 2(n 1)．

所以cn 1 2，可知cn 2(n N*)． 8分 所以bn 2n 1，

所以数列 bn 是首项为4，公比为2的等比数列．

4(1 2n)

所以前n项和Sn 2n 2 4． 12分

1 2

18. （本小题满分12分）

在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为

13

11，乙胜丙的概率为. 43

（I）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

（II）设在该次比赛中，甲队得分为 ,求 的分布列和数学期望. 【解析】

（I）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A，则 P(A)

1111

(1 ) ; 6分 34318

（II） 可能的取值为0，3，6；则

111

,

34211115

甲两场只胜一场：P( 3) (1 ) (1 )

344312111

P( 6) 甲两场皆胜：，

3412

甲两场皆输：P( 0) (1 ) (1 )

1517

E 0 3 6 12分

212124

19. （本小题满分12分）

如图，已知长方形ABCD中，AB 2,AD 1,M为DC的中点.将 ADM沿AM折起，使得平面ADM 平面ABCM

.

（Ⅰ）求证：AD BM；

A

（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E

AM D

解：（Ⅰ）证明：连接BM，则

AM=BM=

． ，所以AM BM

面ABCM=AM

又因为面ADM 平面ABCM，面ADM

所以，BM 面ADM BM AD 4分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz 由（I）可知，平面ADM的法向量m (0,1,0) 设平面ABCM的法向量n (x,y,z)，

所以，ABDM

(0,0,0) DB (

DE DB E((1

,(1

,(1 MA ME ((1

n MA 0

n (0,1 , 2 ) 10分

n ME 0

二面角E

AM D得，

1

，即：E为DB的中点。 12分 2

1

，P为椭圆上任意2

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e 一点， PF1F2的周长为6． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点S（4,0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称

点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

x2y2

1 4分 解：（Ⅰ）椭圆C的方程为

43

x my 4

（Ⅱ）联立 x2y2消x得(3m2 4)y2 24my 36 0

1 3 4

(24m)2 4 36(3m2 4) 144(m2 4) 0，即m2 4 6分

设Q(x1,y1），R(x2,y2)，则Q'(x1, y1)

24m y y ,(1)22 13m 4

由韦达定理有

36 yy ,(2)122

3m 4

直线RQ的方程为y

y2 y1

(x x1) y1 x2 x1

令y=0，得x

x1y2 x2y1(my1 4)y2 y1(my2 4)2my1y2 4(y1 y2)

y1 y2y1 y2y1 y2

将（1），（2）代人上式得x=1， 9分

1 又S TRQ |ST||y1 y2|

2

=18

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