2007年浙江大学高等代数试题解答

2007年浙江大学高等代数试题解答

浙江大学2007年高等代数试题解答

一：证明；充分性；若该方程组的系数矩阵行列式为 1，故可由克拉默法则可知

b b1 bn b1 bn为整数 ，方程Ax b的解均为整数解。

T

必要性；令Ax b，由已知可知 对于

e1,存在整数解 1

en,存在整数解 n

所以A 1

n e1 en En，若取B 1 n ，所以AB 1，而

A,B为整数组成的矩阵，从而有A 1，即该方程组的系数矩阵行列式为 1

二：解：由于

ns1s2 s

1s2s3A s2s3s4

sn 1snsn 1

可知A

2

sn 1 1

xsn 1

sn 1 x12

n 1

s2n 2 x1

1x2

2

x2

1x3

2x3

n 1x2

n 1x3

1 1

xn 12

1xn

n 1 xn 1x12 x1n 1

2n 1 x2x2 x2

2n 1 x3x3 x3

2n 1 xnxn xn x1

1 i j n

x

j

xi

三：证明：由于

E A AB0 E C 0 ABC

从而 0E BBC 0E B 0

AB0

rank ABC rank B rank rank AB rank BC

BBC

四：证明：由于k s，则必能从 1, 2, , s中必可取m 0 个向量，使它们和

1, 2, , k一起构成齐次方程Ax 0的一组基础解系，

若m s k，则dim kerA k s k s这和已知dim kerA s矛盾 若m s k，则dim kerA k s k s这和已知dim kerA s矛盾 从而m s k，从而必能从 1, 2, , s中必可取s k个向量，使它们和

1, 2, , k一起构成齐次方程Ax 0的一组基础解系

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五：证明：由已知可知，A的最小多项式m 2 3 ，从而m 无重根，即

A可以对角化，由于A的特征值仅为2和3，而A 2m3n m，从而特征值2的重数为m，

特征值3的重数为n m，故与A相似的一个对角矩阵为

2 2Em2

3 0

3

0

3En m

六；证明： 1 C,D 2 2,k ，由

C D A C D B ACB ADB C D kC A kC B kACB k C

从而 是V上的线性变换

2 若 1，则A,B均为可逆矩阵，令 x 0，则

AxB 0，所以x 0，即 是可逆线性变换

ab

1若， x ker ,x 3 cd ，根据 x 0可知a c,b d，从而

10 ab 01

又对任何x ker k1 k:k,k cd ，有 2 01 12

10

x a c

12 1 1

，从而 b d

1 2 11

12 1 1

Im k1 k:k,k 2 12

11 1 2

4 当 1时，值域的基即为V的基，而E11,E12,E21,E22可做为值域的一组基，即可为V

的一组基而

E11 E11 2E12 E21 2 E22 E12 E11 E12 E21 E22 E21 E11 2E12 E21 2E22 E11 E11 E12 E21 E22

当 1时，令 1

1 1 11

2 1 21

可知， 在这组基下的矩阵为

1 1 2 2 1

12 1 1 10 10

， , , , 234

1 2 11 10 10

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而 1, 2为值域的一组基， 3, 4为核的一组基，从而 1, 2扩充 3, 4后可成为V的一组基，

2 2

4 2

显然可知 在这组基下的矩阵为

00

00

七：解：由于

0000

0 0 0 0

1 1 2 2 1 2 0 0 2 0 100

00 0 0

22 2 00 00 00 1 1

2

的不变因子为1, , 2 ，初等因子为 , , 1 2 2

1

从而可知

1 2

八：解 1 显然那可知f x1,x2,x3,x4

222

8x12 8x2 8x3 8x4 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4

3

2 由于A的特征多项式为f 9 5 ，从而A的特征值为9（3重）和5

由于 9En A x 0的基础解系的一组基为： 1 10

T

0 1 ， 2 1010 ，

T

TT

3 1100 ，由于 5En A x 0的基础解系的一组基为： 4 1 1 11

单位正交化可得

1

200 2 2

T

0 3 T

T

11 1

4

22 2

T 01

令P 2

0 1 2 1 2

，可知做正交变换1 2 1 2

2222

Y PTX，就可使f x1,x2,x3,x4 9y1 9y2 9y3 5y4

3 显然可知

T

A为正定矩阵，则存在可逆矩阵C，有A CC从而可知

, TA 0，且当且仅当 0时，等号成立

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,

k

T

A CC C ,C C C TCTC TA ,

T

TT

T

k , k A k TA k ,

T

, A TA TA , , 从而 , TA 定义了

4上的内积从而该内积下 4的一组标准正交基为

1 1 3

1 3 3

6

100 2 3 2

6

T

T

T

111

6 422 2

1

2

T

4 可取

2 0B

0 2

6036 61 2

1 2 0 1 0 2 0 1 2

0 0 0

2612

001 2

031 2

2 6 1 2

00

00

九：证明：假若f x 为有理数域上的可约多项式，则不妨设存在整系数多项式

由于f x 0，从而f x g x ,h x 使f x g x h x , g x 0, h x 0，

无实数根，则g x ,h x 也无实根，不妨设g x 0,h x 0，从而在这n个不同点

a1, ,an，g x ,h x 的值均为1，从而 g x n, h x n，否则，g x ,h x

有个为常数，即 f x g x n，则h x g x 1

n

n

x a ，从而

i

i 1

n

f x 1 2 x ai x ai 这和已知矛盾，从而假设不成立，从而f x 在有理

i 1

i 1

2

数域上不可约