实验二：函数插值方法

计算方法

系部 学号 实验题目

数计学院 1206131065

专 业 姓 名

12 应数本 汪娇娇

日期 成绩

2015 年 03 月 教师： 刘明

实验二：插值方法

一.实验目的

n x xi 1)掌握 Lagrange 插值公式 Ln x k 0 i 0 x k x i i k 相应的插值多项式程序；n

y k 以及 Newton 插值公式，编写出

2)加深对计算方法技巧的理解和掌握，能将各种算法正确地编写为程序并上机实现； 3)培养使用计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言：C/C++ 三.实验内容 对于给定的一元函数 y f x 的 n+1 个节点值 y j f x j Lagrange 公式求其插值多项式或 Newton 插值多项式。 数据如下： (1)

j 0,1, , n 。试用

xj yj

0.4 0.41075

0.55 0.57815

0.65 0.69675

0.80 0.90

0.95 1.00

1.05 1.25382

试构造 Lagrange 多项式 L 5 x , 计算 f 0.596 , f 0.99 的值， 那 NEWTON 插值的结果呢？ (2)

xj yj

1 0.368

2 0.135

3 0.050

4 0.018

5 0.007

6 0.002

7 0.001

试构造 Lagrange 多项式 L 6 x ,计算 f 1.8 , f 2.1 的值，NEWTON 插值呢？ 四.实验公式 对于给定的一元函数 y f x 的 n+1 个节点值 y j f x j Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次 Lagrange 插值多项式。 现在把多项式插值问题一般地叙述如下：设函数 y f ( x) 在 n 1 个互不相同的点

j 0,1, , n 。试用

x0 , x1 , , xn 上的值 y0 , y1 , , yn 为已知( x0 , x1 , , xn 既不一定按大小排列，也不一定是等距离的) ,现求作一个次数不高于 n 的插值多项式 Ln ( x) 使

Ln ( x j ) y j , j 0,1,2, , n -------------(1)

计算方法

我们作出 n 1 个基本 n 次插值多项式，也就是插值基函数，问题就可以解决了，这 n 1 个 基函数在各节点上的值为

0 l j ( xk ) 1容易归纳得出

当k j时 当k j时

-------------(2)

l j ( x) 于是取

( x x0 )(x x1 ) ( x x j 1 )(x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 ) ( x j x j 1 )(x j x j 1 ) ( x j xn )n

, j 0,1,2, , n --------(3)

Ln ( x) y j l j ( x) --------------(4)j 0

它应满足条件(1) 。事实上，由(2)

Ln ( xk ) y j l j ( xk ) yk lk ( xk ) yk , k 0,1,2, , nj 0

n

公式(4)叫做 Lagrange插值多项式，由此可见， Ln ( x) 是由 n 1 个基本插值多项式的线 性组合，线性插值、抛物插值都是其特例。 五.实验程序 程序 1: Lagrange 插值 #include<stdio.h> #define N 3 main(void) { float a[N],b[N],f[N]; float x,l[N],xx=1,fx; int i,j,k; for(i=0;i<N;i++) { printf("请输入已知点 X%d:",i); scanf("%f",&a[i]); printf("请输入已知 Y%d:",i); scan

f("%f",&b[i]); } printf("请输入要求的 X:"); scanf("%f",&x); while(x!=0||xx!=0) { f[0]=b[0]; for(i=1;i<N;i++) {

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f[i]=0; for(j=0;j<=i;j++) { l[j]=b[j]; for(k=0;k<=i;k++) if(j!=k) l[j]=l[j]/(a[j]-a[k]); f[i]=f[i]+l[j]; } } fx=0; for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<i;j++) f[i]=f[i]*(x-a[j]); for(i=0;i<N;i++) fx=fx+f[i]; printf("f(%f)的值为:%f",x,fx); printf("要结束请输入 0\n"); printf("请输入要求的 X:"); scanf("%f",&x); if(x==0) { printf("确认要退出请输入 0,要求 f(0)的值请输入任意非零数:"); scanf("%f",&xx); } } } 程序 2:Newton 插值 #include<stdio.h> main() { float a[6],b[6],x[3]; float lx[6],xx,y; int i,j,k; for(i=0;i<6;i++) { printf("请输入已知 X%d:",i); scanf("%f",&a[i]); } for(i=0;i<6;i++) { printf("请输入已知 Y%d:",i);

计算方法

scanf("%f",&b[i]); } for(i=0;i<2;i++) { printf("请输入要求值的 X:"); scanf("%f",&x[i]); } for(k=0;k<2;k++) { y=0; xx=x[k]; for(i=0;i<6;i++) { lx[i]=1; for(j=0;j<6;j++) { if(i!=j) lx[i]=lx[i]*(xx-a[j])/(a[i]-a[j]); } } for(i=0;i<6;i++) y=y+lx[i]*b[i]; printf("所求值为：%f\n",y); } }

五、运行结果 程序 1: Lagrange 插值

计算方法

程序 2:Newton 插值

六.实验分析 1、在编程工作中，你有没有遇到什么问题？又是怎么解决的？ 2、通过考察上述的实验结果，结合教材这一章的内容你有什么样的收获和体会？

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