2012高考数学单元复习训练8：函数的奇偶性、周期性

来源：网络收集时间：2026-08-04

导读： 2012高考数学课时训练8 函数的奇偶性、周期性【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.对于定义在R上的任何奇函数，均有（） A.f(x)-f(-x)0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)f(-x)0 D.f(x)f(-x)≤0 答案：D 解析：∵f(-x)=-f

2012高考数学

课时训练8 函数的奇偶性、周期性

【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.

一、选择题（每小题6分，共42分）

1.对于定义在R上的任何奇函数，均有（）

A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0

C.f(x)·f(-x)>0 D.f(x)·f(-x)≤0

答案：D

解析：∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f2(x)≤0.

2.已知f(x)=a-2是奇函数，那么实数a的值等于（） x2 1

A.1 B.-1 C.0 D.±1

答案：A

解析：f(x)为奇函数 f(0)=0 a-2=0 a=1. 20 1

3.若a>0,a≠1,f(x)为偶函数，则g(x)=f(x)·loga(x+x2 1)的图象（）

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称

答案：C

解析：∵g(-x)=f(-x)·loga(-x+x2 1)=f(x)·loga(x+x2 1)-1=-f(x)·loga(x+x2 1)=-g(x)， ∴g(x)为奇函数.

4.(2010湖北八校模拟，6)设函数f(x)是定义在R上，周期为3的奇函数，若f(1)<1,2a 1,则（） a 1

1A.a<且a≠-1 B.-1<a<0 2f(2)=

C.a<-1或a>0 D.-1<a<2

答案：C

解析：由题意得,f(-2)=f(1-3)=f(1)<1,

∴-f(2)<1.即-2a 13a<1.∴>0,即3a(a+1)>0.∴a<-1或a>0.故选C. a 1a 1

5.已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间［0，1］是增函数，则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为（）

A.f(-6.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-6.5)<f(0)

C.f(0)<f(-6.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-6.5)

答案：C

解析：f(-6.5)=f(-3×2-0.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1).

∵f(x)在［0，1］单调递增，∴f(0)<f(0.5)<f(1)即f(0)<f(-6.5)<f(-1).

6.已知f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞）上是减函数，f(a)=0(a>0),那么不等式xf(x)<0的解集是（）

A.{x|0<x<a} B.{x|-a<x<0或x>a}

C.{x|-a<x<a} D.{x|x<-a或0<x<a}

2012高考数学

答案：B

解析：利用图象法，画出符合条件的函数图象，如下图，由此可知，选项B正确

1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于（） 2

5A.0 B.1 C. D.5 27.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=

答案：C

解析：令x=-1,则f(1)=f(-1)+f(2)，即f(2)=2f(1)=1；令x=3,则f(5)=f(3)+f(2)=［f(1)+f(2)］+f(2)=5. 2

二、填空题（每小题5分，共15分）

8.(2010全国大联考，14)已知f(x)为偶函数,g(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=x2+x-2,则f(x),g(x)分别为___________________.

答案：x2-2,-x

解析：∵f(x)-g(x)=x2+x-2,∴f(x)+g(x)=x2-x-2，故f(x)=x2-2,g(x)=-x.

9.若φ(x)与g(x)都是奇函数，且f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在（0，+∞）上有最大值5，则f(x)在（-∞，0）上有最____________值，该值等于______________.

答案：小 -1

解析：设h(x)=f(x)-2,

∴h(x)=aφ(x)+bg(x),

∵φ(x)与g(x)都是奇函数,

∴h(x)是奇函数，由题可知h(x)在（0，+∞）上的最大值为3；故h(x)在（-∞，0）上有最小值，该值为-3，即f(x)-2在（-∞，0）上有最小值为-3,∴f(x)的最小值为-1.

10.试构造一个函数f(x),x∈D,使得对一切x∈D有|f(-x)|=|f(x)|恒成立，但是f(x)既不是奇函数又不是偶函数，则f(x)可以是______________.

x2(|x| 1),答案：f(x)= (答案不唯一) x(|x| 1).

解析：f(x)的图象部分关于原点对称,部分关于y轴对称,故可以用分段函数来构造.

三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）

11.是否存在实数a，使得函数f(x)=log2(x+

x(x2 2)-a为奇函数，同时使函数g(x)= 1+a)为偶函数？证明你的结论. ax 1

证明：若f(x)是奇函数,则f(x)+f(-x)=0,即

log2(x+x2 2)+log2(-x+x2 2)-2a=0.

2012高考数学

整理得log2(x2+2-x2)-2a=0,∴a=1. 2

若g(x)为偶函数,则g(x)-g(-x)=0,即 11+a)+x(+a)=0. x xa 1a 1

1化简，得x(-1+2a)=0,∴a=. 2

1综上，存在a=满足条件. 2x(

12.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈［0，有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).

（1）设f(1)=2,求f(1］都211),f(); 24

x. 2(2)证明f(x)是周期函数. （1）解析：令x1=x2=

则f(x)=f(xx2x+)=f()≥0. 222

11再令x1=x2=,∴f(1)=f2(). 22

1∴f()=2

令x1=x2=f(1) 2； 111,∴f()=f2(). 42412

1∴f()=41f() 24. 21

(2)证明：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).

又因f(x)的图象关于直线x=1对称，

∴f(x+2)=f(-x),

∴f(x+2)=f(x).

即f(x)是周期为2的周期函数.

13.如果偶函数f(x)在x∈［0，+∞］上是增函数，且f(

解集.

解析：∵f(1)=0,求不等式f(logax)>0(0<a≠1)的211)=0,∴f(logax)>f(). 22

∵偶函数f(x)在x∈［0，+∞］上是增函数,

11),∴|logax|>. 22

11即logax>或logax<-. 22∴f(|logax|)>f(

2012高考数学

a; a①当0<a<1时，0<x<a或x>

②当a>1时,x>a或0<x<a. a

14.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f(a·b)=af(b)+bf(a).

(1)求f(0)、f(1)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.

解析：（1）f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0,

由f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1),得f(1)=0.

（2）f(x)是奇函数.

证明：因为f(1)=f［（-1）2］=-f(-1)-f(-1)=0,

所以f(-1)=0,f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).因此,f(x)为奇函数.

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