第五章 正态分布、常用统计分布和

第五章 正态分布、常用统计分 布和极限定理

一、什么是正态分布正态分布(Normal Distribution)服从一类 确定的规律，又称为常态分布或高斯分 布。

如统计了96人的初婚年龄表5-1

φ(x) φ(x)

18.5 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5

x

图5-1

( x) lim

P( x

x 0

x x x ) 2 2 x

分布密度曲线的特征：1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点； 2.分布曲线有一个对称轴x=μ; 3.分布曲线以横轴为渐近线。 中位值、中值、均值三者重叠。

正态分布的概率密度表达式为： ( x)

1 2

( x u ) 2 2 2

e

1.曲线在x=μ处达到最高值，并且以x=μ对称。

μ1

μ2图5-2

μ3

2.在μ不变的情况下， 越小， 图形越尖锐，反之则低阔。

=0.5

=1 =2图5-3

参数μ和 代表的意义

D( ) E ( )

x ( x)dx u , 即E ( ) u (数学期望) ( x u ) 2 ( x)dx 2 , 即D( ) 2 (方差)

正态曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小 块取值 xi 所出现的概率，曲线下的整个面积由无 数个小直方形拼成。 xi xi 每小块面积 长 宽 ( xi ) xi P( xi xi ) 2 2

曲线下任意两点x1 x2的概率，就是对从 x1 到 x 2 的 所有小块面积进行累加，即P( x1 x2 ) i x1

( x ) xi

x2

i

当 xi 0时， P( x1 x2 )

x2

( x)dx

x1

几个典型取值区间的概率值1.P(u u )

u

u

( x)dx 0.6827 ( x)dx 0.9545

2.P(u 2 u 2 )

u 2

u 2

3.P(u 3 u 3 ) P( )

u 3

u 3

( x)dx 0.997334.13% 34.13%

( x)dx 113.6% 2.16% 0.11% 13.6% 2.16% 0.11% 图5-4 u

u 3 u 2 u

u 2 u 3

二、标准正态分布变量值标准化 Z x u

根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为 (Z ) 1 2 z2 e 2

如果把u 0, 1代入 ( x)

1 2

( x u ) 2 2 2

e

( x)

1 2

x2 e 2

标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0,1),一般正态分布记作N(μ,σ2)。 一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。σ=1

0图5-5

(一)正态分布与标准正态分布的特点对比1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点； 2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称； 3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无 限延伸，但永不与基线相交； 4.平均数为0,标准差为1; 5.

标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1 个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开 始，向下向外弯。

(二)正态分布与标准正态分布面积 之间的对应关系当x u 时，Z x u

x u u u 当x u 时，Z 1 则有 P (u u ) P ( 1 1)

u u

1,

u

u

( x)dx 0.6827

1

1

( Z )dZ 0.6827

x u 2 时，Z 2,x u 2 时，Z 2 P (u 2 u 2 ) P ( 2 2) 同理： P (u 3 u 3 ) P ( 3 3)

u 2

u 2

( x)dx 0.9545

2

2

( Z )dZ 0.9545u 3

u 3

( x)dx 0.9973

3

3

( Z )dZ 0.9973

34.13%

34.13%

13.6% 2.16% 0.11%

13.6% 2.16% 0.11%

3

2

1

图5-6

0

1

2

3

(三)标准分的实际意义例1:甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数都 是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ乙 =75分， μ丙=70分，标准差都是10,比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。80 80 80 75 80 70 解：Z 甲 0;Z乙 0.5;Z 丙 1 10 10 10 Z 丙 Z乙 Z甲

例2:设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成 绩都为75分，σ甲=10分， σ乙=15分， σ丙=20分， 比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。80 75 80 75 80 75 解：Z 甲 0.5;Z乙 0.33 Z丙 ; 0.25 10 15 20

如果各科原始分数呈正态分布，可将各科原始分 数转换成标准分，求其总和，再比较总分大小。总成绩

Z i

xi ui

i

例3:甲、乙两生高考的政治分数分别为70分、60分， 物理分数分别为60分、70分，从总分上看，两生的总 成绩相等，但政治的平均分是70分，δ=20,而物理 的平均分是50分，δ=40。总成绩甲 总成绩乙

Zi Zi

xi ui

i

70 70 60 50 0.25 20 40 60 70 70 50 0 20 40

xi ui

i