《数学文化》 作业2答案

电大数学文化作业的答案

《数学文化》 作业2

1.什么是黄金分割，试举例说明。

答：黄金分割之所以称为“黄金”分割，黄金比之所以称为“黄金”比，是比喻这一分割和这种比在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术，建筑，摄影等许多艺术门类中的审美要素之一。认为它表现了恰到好处的和谐。

举例：人体是美的，这是因为人体的许多部分存在黄金分割，黄金比。

2.叙述华罗庚的优选法。

答：华罗庚的优选法又称“0.618法”，“优选法”即对某类单因素问题，用最少的试验次数找到“最佳试验点”的方法。

3.简述哥尼斯堡七问题.

答：哥尼斯堡城风景秀美，碧波荡漾的普累格尔河穿过该区域；河中心有一座美丽的小岛，岛上商业繁荣。普累格尔河及其两条支流把包含岛内区在内的全城分为四个区域：岛区（A），东区（B），南区（C）和北区（D）。有七座桥横跨河流及其支流，连接了这四个区域，这一别致的桥群，古往今来，吸引着众多的游人。当地居民曾经热衷于一个有趣的问题：能不能找到一条线，使得散步时不重复地走遍七座桥。

4.叙述欧拉解决哥尼斯堡七问题的过程。

答：欧拉思考后，认为七桥问题与岛和桥，河岸的形状，长短都没有关系；重点的是桥与桥，桥与河岸，桥与岛，岛与河岸的位置关系。于是，欧拉将岛和岸都抽象成线。原来的地图就转化为点和线的简图。原来的问题就简化成：不重复走遍这七条线，然后欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成“一笔画问题”：笔尖不离开纸面，一笔画给出定图形，不允许重复任何一条线，这样的图形简称为“一笔画”。理论上需要解决的问题是找到“一个图形是一笔画”的充分必要条件，并对是一笔画的图形给出一笔画的方法。

5.简述一笔画定理，并说明它为什么很容易解决了一笔画问题。

答：一个网络是一笔画的充分必要条件：它是连通的并且奇顶点的个数是0或2.一笔画定理把一笔画问题彻底，漂亮的解决了。彻底指它给出了充分必要条件，从而把一笔画和非笔画的界限彻底的划清了。“漂亮”是指它的充分必要条件简单明了，在连通的条件下只需要数网络中奇顶点的个数，从而很容易验证，用起来很方便。即使一个有几百条弧的网络，要判别它是不是一笔画，也只需要十几分钟时间。

6.简述平面上的欧拉公式并证明。

答：平面上的欧拉公式是：V-E+F=1，这里的V表示网络的顶点数，E表示网络的弧数（边数），F表示面数，也就是由边围成的区域个数。

证明：我们从某一网络出发，去证明。从该网络中去掉一个外边AB。这是E减少了1，F也减少了1，而V则保持不变。因此，经过这样的步骤后，V-E+F保持不变。同样，如果网络中有一个尾顶点B，将这个点连同通向它的边CB同时去掉，则V减少1，E也减少1，而F保持不变。在这种情况下，公式依然成立。在假定从一个已知网络出发，继续不断地去掉一切可能去掉的外边和尾点，最后将得到一张只有一个顶点的网络。这时V=1.E=0,F=0，仍然满足欧拉公式。

7.举例说明什么是弱抽象？

答：减弱数学结构的抽象称为弱抽象。例如，正方形减去“邻边成直角”的条件，就成了菱形，再减去邻边相等的条件就成了平行四边形，再减去“对边平行”的条件就成为一般四边形。这里的每一步都是弱抽象。

8.举例说明什么是强抽象？

答：通过引入新特征强化原结构来完成的抽象称为强抽象，它在某种意义上是弱抽象的逆过

电大数学文化作业的答案

程。例如，一般四边形增加“对边平行”的条件，就成为平行四边形，再增加“邻边相等”的条件，就成为菱形，再增加“邻边成直角”的条件，就可以定义为正方形。

9.什么是悖论？叙述芝诺悖论的意义。

答：悖论的通俗说法是：从正确的前提出发，经过正确的推理，得出矛盾或荒谬的结论。 芝诺悖论的意义：芝诺悖论中含有深刻的哲理，他们具有时代的意义，否则不可能流传至今。第一，它促进了精确，求证数学的发展。第二，它是较早的“反证法”及“无限”的思想。第三，它尖锐地提出离散与连续的矛盾。

10.论述无限与有限的区别。

答：区别：第一，在无限集合中，“部分可以等于整体”。第二“有限”情况时成立的许多命题，对“无限”情况不再成立。

11.论述无限与有限的联系。

答：无限与有限有着本质的区别，也有许多联系。正因为两者有本质的区别，在有限与无限间建立联系的方法，往往十分重要。下面介绍四种方法：1.数学归纳法；2.极限；3.无穷级数；4.递推公式。这几种方法都说明无限与有限有着紧密的联系。

12.简述一般经济均衡理论及瓦尔拉斯表达的数学问题。

答：所谓一般经济均衡理论大致可以这样来简述：在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一部分是生产者。消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润，他们的经济活动分别形成市场上对商品的需求和供求。市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也达到了他们的最大化要求。瓦尔拉斯把这一思想表达为这样的数学问题：假定市场上一共有L种商品，每一种商品的供给和需求都是这L种商品的价格函数。于是这L种商品的供需均衡就得到了L个方程。但是价格需要有一个计量单位，或者说实际上只有各种商品之间的比价才有意义。因而，这L种商品的价格之间只有L-1种商品的价格是独立的。