江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.3.2 极大值与极小值课件 新人

高中数学 选修2-2

知识回顾：导数与函数的单调性的关系一般地， 设函数y=f(x) , 1)如果在某区间上f (x)>0 ,那么f (x)为该 区间上的增函数， 2)如果在某区间上f (x)<0 ,那么f (x)为 该区间上的减函数.yy=f(x)

yy=f(x)

o

a

b

x

o a

b

x

利用导数讨论函数单调的步骤:(1)求y=f(x)的定义域D (2)求导数f (x) (3)解不等式f (x)>0;或解不等式f (x)<0. (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间

忆一忆

基本求导公式：

(1)(kx+b) =k( k,b为常数), 特殊地： C =0(C为常数) (2)(xα) = αxα-1(α为常数)

(3)(ax) =axlna(a>0,且a≠1)1 1 (4)(logax) = x logae= x ln a(a>0,且a≠1)

(5)(ex) =ex (7)(sinx) =cosx

1 (6)(lnx) = x

(8)(cosx) =-sinx

(问题情境)观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势、 P点的函数值以及点P位置的特点. y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) x2 x3 x 4 b

o

a x1

x

函数图象在P点附近从左侧到右侧由“上升”变 为“下降”(函数由单调递增变为单调递减),在P 点附近，P点的位置最高，函数值最大

函数极值的 定义

数学建构

一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0),我 们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作 y = f (x0);如果对x0附近的所有的点,都有 f(x)﹥f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一 个极小值，记作y =f (x0). 极大值与极小值同称为极值.极大值 极小值

学生活动(1)极值是函数的最值吗？ (2)函数的极值只有一个吗？ (3)极大值一定比极小值还大吗？ (1)极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部 性质,不是整体的最值; (2)函数的极值不一定惟一,在整个定义区间内可能有 多个极大值和极小值； (3)极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极 小值还小. y y=f(x)

P(x1,f(x1))Q(x2,f(x2)) x2

o

a

x1

x3

x4

b

x

数学建构

观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的 研究方法,看极值与导数之间有什么关系?y

x f (x ) f(x )

x0左侧f (x) >0

x0f (x) =0

x0右侧f (x) <0

增

极大值

减

oy

a

x0

b

x

x f (x )

x0左侧f (x) <0

x0f (x) =0

x0右侧f (x) >0

f(x )减 o a x0 b x 极小值 增

请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值

?

左正右负为极大，右正左负为极小

学生活动函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D ) A 导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值

BC

导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值

D

导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

例1:求f(x)=

x2-x-2的极值.1 解： f (x)=2x-1,令f (x)=0,解得x= .列表： 2

xf ( x)

1 ( , ) 2

f ( x)

1 2

1 ( , ) 2

01 极小值f ( ) 2

9 1 1 f(x)有极小值f( )=- . 因此，当x= 时， 4 2 2

小试牛刀篇(数学运用) 1 3 1 例2 : 求函数f(x) x 4 x 的极值 3 3解: ∵ f (x)=x -4,由f (x)=0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时， f (x) 、 f(x)的变化情况如下表： x (-∞,-2) + -217 极大值 32

(-2,2)

2 0极小值-5

(2,+∞) +

f (x ) f(x )

0

-

∴ 当x=2时,y极小值=-5;当x=-2时,

17 y极大值= 3

.

小吃篇求下列函数的极值.

1 ( 1)y x x 3 2 (2)y 8x - 12x 6x 1

渐入佳境篇 若寻找可导函数极值点 ,可否只由f (x)=0 求得即可?y f (x) x3

探索：x =0是否为函数f(x)=x3的极 值点?f (x)=3x ,当f (x)=0时，x=0,而x=0不 是该函数的极值点. f (x0) =02

O

x

x0 是可导函数f(x)的极值点.f (x0) = 0

x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点

注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件.

一览众山小 请思考求可导函数的极值的步骤:① 确定函数的定义域； ② 求导数 f ( x ) ③ 求方程 f ( x) =0的根,这些根也称为可能极值点； ④ 检查 f ( x ) 在方程 f ( x ) =0的根的左右两侧的 符号，确定极值点.(最好通过列表法)

强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值 点就必须判断 f (x0)=0左右侧导数的符号.

一吐为快篇(小结) 本节课主要学习了哪些内容？1.极值的判定方法. 2.极值的求法. 注意点：请想一想？

1.f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

2.数形结合以及函数与方程思想的应用 3.要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f (x0)=0左右侧导数的符号.

回味无穷篇(作业)1.课本P31第1,3题. 2.思考题极值和最值的区别与联系.