高等数学习题课3-2

配套教材:高等数学 第二版 上册(高等教育出版社) 南京理工大学应用数学系编

习题课(二) 习题课(

习题课3-2 习题课第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

一 泰勒公式 上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1] 上二阶可导，且

f (0) = f (1) = 0, max f ( x ) = 2, 证明在 ( 0,1) 至少存在一点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ 16. 证0 ≤ x ≤1 0 ≤ x ≤1

上连续， 因为 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， 且 f ( 0) = f (1) = 0,

max f ( x ) = 2, 所以在 (0,1) 上存在一点 x0 , 使得f ( x0 ) = 2,

f ′( x0 ) = 0. 将 f ( x ) 在 x0 处展开一阶泰勒公式得 f ′′(ξ ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + ( x x0 ) 2 2-1-

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第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

f ′′(ξ ) ( x x0 ) 2 = 2+ 2 在上式中令x = 0, 得

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(ξ介于x与x0 之间)

f ′′(ξ1 ) 2 ( 0 < ξ 1 < x0 ) 0 = f ( 0) = 2 + x0 2 4 f ′′(ξ1 ) = 2 即 x0 令 x = 1, 得 f ′′(ξ 2 ) ( x0 < ξ 2 < 1) 0 = f (1) = 2 + (1 x0 )2 2 4 f ′′(ξ 2 ) = 即 (1 x0 )2 1 1 所以 f ′′(ξ1 ) ≤ 16 (0 < x0 < ) 或 f ′′(ξ 2 ) ≤ 16 ( ≤ x0 < 1) 2 2-2-

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例2 证明当 x > 1 时,第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

x2 x3 ln(1 + x ) ≤ x . + 2 3 证 当 x > 1 时, 2 3 x x 1 x4 ln(1 + x ) = x + x 3 4(1 + ξ )4 其中 ξ 介于 0与x之间. 之间.由于 当 x > 1 时, 1 x4 ≥ 0 4(1 + ξ )4 所以

x2 x3 ln(1 + x ) ≤ x . + 2 3-3-

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e + 2cos x 3 例3 lim x →0 x4第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

x2

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x2 x4 + + o( x 4 ) 解 cos x = 1 2 24 2 x4 x 2 4 e = 1+ x + + o( x ) 2 原式 代入得 x4 x2 x4 (1 + x 2 + + o( x 4 )) + 2(1 + + o( x 4 )) 3 2 2 24 = lim x →0 x4 7 x4 + o( x 4 ) 7 12 = = lim 4 12 x →0 x -4-

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第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

确定 a , b, c 使当 x → 0 时， x2 x 2 f ( x) = a + e + x ln(1 + x ) + b sin x + c sin 2 x 2 的四阶无穷小。 为关于 x 的四阶无穷小。 x2 x3 x4 ex = 1+ x + + + + o( x 4 ) 解 2 6 24 x3 x ln(1 + x 2 ) = x 3 + o( x 4 ) sin x = x + o( x 4 ) 6 3 4x 4 sin 2 x = 2 x + o( x ) 3 1 b 4c 3 1 4 f ( x ) = a + 1 + (1 + b + 2c ) x + ( + 1 ) x + x 24 6 6 3 + o( x 4 ) 11 8 a = 1 b = , c = 所以 3 6-5 例4

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例5第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

二阶导数存在， 且 设 f ( x ) 在 x = 0 二阶导数存在，

sin 3 x f ( x ) lim( 3 + 2 ) = 0 x →0 x x

3 f ( x) f (0), f ′(0), f ′′(0); (2) lim( 2 + 2 ) 求 (1) x →0 x x sin 3 x f ( x ) 解 因为 lim( 3 + 2 ) = 0, x →0 x x sin 3 x 所以 f ( x) = + o( x 2 ) x ( 3 x )3 3 3x + o( x ) 3! = + o( x 2 ) x 9 2 = 3 + x + o( x 2 ) 2-6-

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第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

9 f (0) = 3, f ′(0) = 0, f ′′(0) = 2! = 9 所以 2 3 f ( x) 3

x f ( x) lim( 2 + 2 ) = lim( 3 + 2 ) x →0 x x →0 x x x 3 x sin 3 x sin 3 x f ( x ) = lim( + + 2 ) 3 3 x →0 x x x 3 x sin 3 x 3 3 cos 3 x = lim = lim 3 2 x →0 x →0 x 3x 9 = 2

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第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

上连续， 当 例6 设函数 f ( x ) 在 [a ,+∞ ) 上连续， x > a 时， f ′( x ) > k > 0, 且 f (a ) < 0, 证明： 证明： 方程 f ( x ) = 0 在区间

[a ,+∞ ) 有且仅有一个根。 有且仅有一个根。因为当 x > a 时，f ′( x ) > k > 0, 所以 f ( x ) = 0 在区间[a ,+∞ ) 至多有一个根。 至多有一个根。 证 又因为 f (a ) < 0, 且 f (a ) f (a ) f (a ) = f ( a ) + f ′(ξ )(a a) k k f (a ) > f (a ) k =0 k f (a ) ]至 所以由连续函数介值定理得f ( x ) = 0 在 [a , a k 少有一个根， 有且仅有一个根。 少有一个根， 即在 [a ,+∞ ) 有且仅有一个根。-8-

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第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

例7 证明下列不等式 1 1. 当x > 时，e 2 x 1 > 2 x。 时， 2 2 x 1 2x 证： 令 f ( x ) = e 1 ′′( x ) = 4e 2 x 1 > 0 时， Q 当 x > 时， f 2 1 1 时， 所以当x > 时， 上是单调增加的， ∴ f ′( x )在[ , +∞ )上是单调增加的， 2 2 1 1 有f ′( x ) > f ′( ) = 0, 进而有f ( x )在[ , +∞ )是单调增 在[ 2 2 1 1 加的， 加的，即有当x > 时， f ( x ) > f ( ) = 0,即 有 时， 2 2 1 2 x 1 e > 2x x > 。 2 -9-

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第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

2. 当x ∈ (0, )时， x > x。 时， sin 2 π 2 证 令 f ( x ) = sin x x

π

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2

π

由于

f ′( x ) = cos x

2

时， 当x ∈ (0, x0 )时，f ′( x ) > 0, 即f ( x )在[0, x0 ]上是单调增

π

, 因此，取x0 = arccos 因此，

2

π

所以当0 所以当0<x ≤ x0时，有f ( x ) > f (0) = 0, 加的， 加的，时， 当x ∈ ( x0 , )时，f ′( x ) < 0,即f ( x )在[ x0 , ]上是单调减 2 2 π π 少的， 少的，所以当x0 ≤ x < 时，有f ( x ) > f ( ) = 0, 时， 2 2 π 2 时， sin ∴ 当x ∈ (0, )时， x > x。 2 π- 10 -

π

π

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第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用

上连续， 例8 设函数f ( x )在[a , b]上连续，在(a , b )上二阶 f ( x ) f (a ) 可导， 证明： 可导，且f ′′( x ) > 0, 证明：g ( x ) = 在区 x a 内是单调增加的。 间(a , b )内是单调增加的。 f ′( x )( x a ) ( f ( x ) f (a )) 证 g ′( x ) = ( x a )2由拉格朗日中 …… 此处隐藏：4563字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……