菲涅尔透镜光路的解析计算

菲涅尔透镜

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E —I光学仪器 2第"窑第 4年瓤

菲涅尔透镜光路的解析计算舭方法o

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摘要·讨论 T菲涅尔透镜光路的解析计算,井提出修正误差和提高计算精度的

关调幽 t:1目富 l

.必鲤 圭

大家知道,菲涅尔透镜较之传统的球面透镜,具有许多突出的优点.尤其是光学塑料的飞速发展,加之现代工业所提供的先进技术.人们可以对光学塑料实施注塑模压或机械加工

瘟形.大批量生产光洁度和面形精度很高的密纹菲涅尔透镜,并将其应用列高级放大机,照相机,投影仪和许多的精密光学仪器中 . 4粗纹菲涅尔透镜的设计计算比较简单,读者可阅0. '关于细纹菲涅尔透镜,许多文献主张将其菲涅尔面模拟成轴对称高次非球面进行光路计算,众所周知,这种模拟必定带来原理误差,况且,模拟成高次非球面之后 .还必须用迭代方法进行逐次逼近,不仅延误计算晌间. 计算精度也受影响.在光学自动设计中,这种弊端尤为突出.关于菲涅尔透镜光路的解析计算,虽已有文献述及,但都忽视了一项不可忽略的误差}并且没有做误差分析.本文希望 '对此有所补益 .

2有关的定与面形方翟 2 1菲涅尔面以厚度为 d . ,折射率为 n的平行平板为基底,各槽都以此平板的后表面为共同基面:P( 1z ) JX1Y 1

基面为 YOZ面建坐标系OXYZ,

见图 1.

2 2将各槽工作侧面视为圆锥面的一部 .

- U 2

\

\\

分,设锥面母线与基面夹角为 e则不同环,槽的工作侧面对应于侧面角 0互不相同的圆锥面.

A ., I a T - L图 I

j

2 5因限于讨论密纹情况,在光线追迹 .配将不计各槽带的宽度和间距 (约为 0 6- ." -) .

0O蛐 .4

不难证明.在上述约定下,菲涅尔面各工作侧面的面形方程是t

F( X.Y,z= ) x+(研/式中.H是环带高度,·目防科技大学23 103湖南长挣 0 .40 7

一H)g= tO 0

() 1

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菲涅承遗锋光路的解析计算一壬末静

X,Y,Z是工作侧面上点的坐标由(式 a/X=l ) F o

=·//. ) + g o/ Z Z t O Y S F~j光线与菲涅尔面交点厦折射后的方向

"

鲫

五

参见图 1.光线在基底平板第一面的交点 P( Y~ p以及其折射后方向矢量 q( p Y X, Z ) a,, )均容易由一般球面系统光线追迹的矢量方法计算 .据此即可计算光线在菲涅尔面的交点 (,Y )由图 1有: XI, .Xt 0 =

,

Y+邮/ } d Z:+d/d l Y J 导出上式使用了前面的约定由多元函数理论可知,P点处菲涅尔面法

线单位矢量 N a, t ( NaN一c s oO

() 3

,Y )由下式确定;

,

8… Y s e硪 N i/ nY… Zs e N i/ ncs:lⅡ+B N+Y NI oI d K日 Y

}J

() 4

折射光线的方向矢量 qta,p, ) (: t 的计算过程与一般球面系统相同,即() 5

cs[一 1 0 )1.' o I 1Ⅱ(一c sI/ 1]g=n c s一n o I/o l c s

() 6( 7)

a n d+g~/ , 1 ( a )n

口 . (+日)1} I n B g N/ 1Y:n v+ 7 ) n J 1 ( g N/

() 8

可见,只要算出光线交点 P所在圆锥面的侧面角 0 1,则菲涅尔面的光线追述即可完成 . 4一面角的计算与修正图 2中,光线 A2t经基底平板第一面折射后的实际光线 . P系

融I一一n U 0一 iI… 0 U

由折射定律有一

n·i ( sn 0+U2=一sn 0 ) i (+U )

将上式展开,两边 (+cs ) (: o O o e 'c s0得 )n· o U 2 t c s·gO+n i snU2 =c s·gO s n o U t i U

整理得

目

t e sn -n sn ) ( cs -c s ) g=( iU·iU2/n·o U, o U

( 9)

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光

学

仪

器

9± t 9第 第 4期 4卷

cs 2 o U=√n一s U/ i n代入 ( )得 9式 t O=(iU, iU) ( g sn一sn/√设基腻平板等效空气层厚度为 E图 1)则 (, U=a cg[ Y+Z}/ L—E) rt (] f 式中 U r t(/=a cg~ Y}+Z L )/ Yi Z,由( )决定; 8式 ' 一e s ) o U

( O) 1

( )儿

(2 1 ) (3 I)

L,L是菲涅尔透镜的技术参数 . 公式 ( ) (2, ( 3描述了光线投射点 P ( Y 所在圆锥面的工作侧面角 0 0一 J, 1) 1 ) 1 Xt Z ) .旦确定,则可按 ( ) 8式计算折射光线的方向矢量 . 4一( )

一

由( 2式知道,现在问题的关键是确定基底平板的等效空气层厚度 E J) .般讨论此种计算方法的文献都用适于近轴光线的等效空气层厚度 e取代 ( 2 1 )式中的3

E,我们认为这是不妥的因为准确表达式应是 E=Kd n/而其中系数 K=c s cs=n o U// oU/ o U2 c s~= i一 但适于近轴光线的等效空气层厚度却是 . ( e=/ dn'

(4 1) (5 1) (6) 1

眦

显然 .当 U再超过~定大小时,e与 E即有明显差异.例如,聚甲基丙烯酸甲酯是常用

的制作菲涅尔透镜的原料(= 9 3,以它针对不同的 U角计算出系数K列于表 1中 n 1 40 )表 1

∞_ U

. 2~] 64 7 1

. 3 6 57 s7

. 5

42 8 2 61

.

2 8 g 5 81 7 5 6 6l 9 3 9 3 0

. 7 64 I3 8 . 5 55 7 0 2 . 3I 2 4

. 8 56 0 71 .∞ 7 5 7 5 .1 7 I2 0

c皇∞0五

.578 8 7 7.44 79

8 3 1 3 9 5.8 6 6 6

.186 8 3 26Z ' a4

.18 1 7 3 3~.34 5 2

.

.

由表看出.当 U 3 .≥ O时,K<O9 9~在精确计算中已不能用 e .1 3取代 E值了. 众所周知,菲涅尔透镜的突出特色就是适用于光束孔径角和相对口径都很大

的场合·因荷琏成上述 U角超过 3的情况是很正常的.一般文献直接以 e O取代 E值,都没有采取修正

措施'也未提出误差分析,显然是不晗当的. 另一方面,在光路计算目饔准确按 (4,( 5式求出E值也十分困难 .因为 E本身 1) 1)

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菲涅尔透镜光路的解斩计算一

王永仲

也是U的函数.由( 2式可知,欲准确计算U值,必须求解下面的超越方程 - 1)tU:~ Y+Z/ L—d o u// g/ ( c s~=丽式中 L山技术条件挑定j

(7 1)

Y,Z 是光线投射点的坐标 . 从数学上说,在计算了光线交点之后,可以用遥次逼近的迭代方法,由 ( 7式求解 U 1)

值 .但这无疑是十分麻烦的 .况且,逐次逼近的迭代方法是光路计算过程力图避免的 .为确保光路计算精度,必须对由近轴光学理论计算的等效空气层厚度 e进行修正}但为节省时间

和方便程序设计,又不能采用求解超越方程的精确方法.于足我们想到用直接数值修正方案进行尝试具体思路是:

41一般细皱菲涅尔透镜材料折射率 l约在 1 4 1 5之间I其中聚甲基丙烯酸甲酯是 . I D .7 . 0最常用材料,光学性能参数具有很好的代表性 .在考虑修正系数 K值髓.可用它作代表 . 42根据表 1,每蹦 1 .划分一个区间,取各区间中点的修正系数 K值,列于表 2中. . 0

Ⅱl间区掣

( ' 1 ' ( D . D】 ( 0, D] ( 0, 0] ( 0 5 ' ( O, 0] ( D, D] ( 0 .0] o .0] 1 '2 ' Z '3 ' 3 .4 ' 4 ' 0 ) S .6 . 6 'T . 7 '日 '.9 0e .8 9【 .4 95 . 8 88 .0 85 . B B7 .￥ st .4 S0

( O,D】 S .0 '. 1 1T

其中

U=a cg~ Y!/ L—/ ) . rt[/+Z ( a n]

( 8 1)

4 3将 ( 2式改写为 . 1)

U:a cg[/ r t~ Y+Z L—K/ ) i( …… 此处隐藏：4624字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……