3.4.3简单线性规划的应用课件ppt(北师大版必修五)

4.3 简单线性规划的应用【课标要求】1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值. 2.掌握实际问题中线性规划的两种类型.

【核心扫描】利用线性规划知识求解实际问题 .(重点、难点) 1. 在解决实际问题中考查学生列不等式(组)分析问题、解决 2. 问题的能力.

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自学导引1.实际问题中线性规划的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资 源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗 费的人力、物力资源最少. 2.线性规划解决的常见问题 (1)物资调配问题 (2)产品安排问题 (3)合理下料问题 (4)产品配方问题 (5)方案设计问题课前探究学习 课堂讲练互动

3.线性规划解决实际问题的一般步骤：

想一想：怎样从已知条件中列出线性约束条件？ 提示 要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数 和约束条件是有相当难度的，要解决这个难点关键是通过 列表的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理.课前探究学习 课堂讲练互动

名师点睛最优整数解的求解技巧 如何求线性规划问题的最优整数解是整个线性规划中最复 杂也是最困难的问题.为了解决这类问题，可以采用如下 两种方法： (1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l,最先经 过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法充分利用 非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是 有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目 标函数求值，经比较求最优解.

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(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不 定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解. 提醒：确定最优解时注意问题 ①最优解一般在可行域的边界上取得，但有时在区域内取 得，尤其是整点为最优解时. ②当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优 解可能有无数个.

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题型一

与最大值有关的实际问题

【例1】 某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不 超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电 视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.已 知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司 带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配 在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大？最大收益是多少万元？ [思路探索] 先设出分配给两个电视台的广告时间，再 根据时间限制条件列出约束条件，建立目标函数求解.课前探究学习 课

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解

设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x 分钟

和 y 分钟，总收益为 z 元， x+y≤300, 由题意得 500x+200y≤90 000, x≥0,y≥0, 目标函数 z=3 000x+2 000y.

二元一次不等式组等价于 x+y≤300, 5x+2y≤900, x≥0,y≥0, 作出可行域(如图所示),课前探究学习 课堂讲练互动

当直线 z=3 000x+2 000y 过点 M 时，z 最大 . x+y=300, 由 5x+2y=900,

得 M(100,200).

∴zmax=3 000×100+2 000×200=700 000(元). 因此该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟 广告，公司收益最大，最大值为70万元. 规律方法 解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问 题，再按如下步骤完成： (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表 示的平行直线系中的一条直线l; (2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置； (3)求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解),代入目标 函数，即可求出最值.课前探究学习 课堂讲练互动

【训练1】某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要2 求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍，且对每个项目的 3 投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的 利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正 确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为多少？

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解 元，

设投资甲项目 x 万元，投资乙项目 y 万元，可获得利润为 z 万

x+y≤60, x≥2y, 则 3 x≥5, y≥5, z=0.4x+0.6y. 由图像知，目标函数 z=0.4x+0.6y 在 A 点取得最大值. ∴ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元). 故该公司正确规划投资后，在这两个项目上可获得的最大利润为 31.2 万元.课前探究学习 课堂讲练互动

题型二 与最小值有关的实际问题【例2】 某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨， 现按7吨、8吨和5吨把货物分别调动给甲、乙、丙三个商 店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费 分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、 丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安 排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总 运费最少？ [思路探索] 解答本题可先设出仓库A运给甲、乙商店货 物吨数，再利用题中等量关系表示出其他运货情况，建立 线性规划模型求解.课前探究学习 课堂讲练互动

解 将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运 费表，单位：元) 商店 甲 仓库 A B 8 3 乙 6 4 丙 9 5

设仓库A运给甲、乙

商店的货物分别为x吨、y吨， 则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)吨； 从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7-x) 吨，(8-y)吨，[5-(12-x-y)]吨，即(x+y-7)吨， 于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y) +5(x+y-7)=x-2y+126(单位：元).课前探究学习 课堂讲练互动

则问题转化为求总运费 12-x-y≥0, 7-x≥0, 8-y≥0, z=x-2y+126 在约束条件 x+y-7≥0, x≥0, y≥0, 0≤x≤7, 0≤y≤8, 即在 x+y≥7, x+y≤12

下的最小值.

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作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域， 作出直线l:x-2y=0,把直线l作平行移动，显然当直线l 移动到过点A(0,8)时，在可行域内，z=x-2y+126取得最 小值zmin=0-2×8+126=110(元). 即x=0,y=8时，总运费最少.所以仓库A运给甲、乙、 丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、 乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得 从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.

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规律方法 (1)线性规划问题中条件往往较多，需注意借 助表格或图形梳理题目中的条件. (2)在切实认真审题的基础上，将约束条件全部罗列出 来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数或有其 他范围的限制.

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【训练2】 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻 近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每 辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货 车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一 次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ). A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元解析 设需甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，

x≤4,x∈N+, 由题意知 y≤8,y∈N+, 20x+10y≥100.

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