2015年人教版九年级数学上册金榜名师推荐课时提升作业23.1图形的

课时提升作业(十八)

图形的旋转

(30分钟50分)

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.(2013·济南中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(-2, 3),C(-3,1).将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,得到

△AB′C′,则点B′的坐标为( )

A.(2,1)

B.(2,3)

C.(4,1)

D.(0, 2)

【解析】选A.如图所示,点B′的坐标是(2,1).

2.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C,若∠A=40°,∠B′=110°,则∠BCA′的度数是( )

A.110°

B.80°

C.40°

D.30°

【解析】选 B.根据旋转的性质,对应角相等,可以得到∠ABC=∠B′=110°,因为△ABC的内角和为180°,得到∠ACB=30°,所以∠BCA′=30°+50°=80°.

【变式训练】如图,在Rt△OAB中,∠AOB=30°,将△AOB绕点O逆时针方向旋转得到△OA1B1,如果∠A1OB=70°,则旋转角为.

【解析】根据旋转的性质,对应角相等,可以得到∠AOA1=∠A1OB+∠BOA,

所以∠AOA1=70°+30°=100°.

答案:100°

3.如图,在△ABC中,∠CAB=75°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到

△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=( )

A.30°

B.35°

C.40°

D.50°

【解析】选A.∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,

∴AC=AC′,∠BAC=∠B′AC′,

∵CC′∥AB,∠CAB=75°,∴∠ACC′=∠CAB=75°,

∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°,

∵∠BAB′=∠CAC′,∴∠BAB′=30°.

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.(2013·广州中考)如图,Rt△ABC的斜边AB=16,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′,则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D′的长度为.

【解析】旋转是全等变换,

所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′,

∴A′B′=AB=16,∴C′D′=A′B′=8.

答案:8

5.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定的角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为.

【解析】由旋转的特征知AD=AB,又∠B=60°,所以△ADB为等边三角形,所以BD=AB=2,CD=BC-BD=3.6-2=1.6.

答案:1.6

【互动探究】若将题干中“CD的长”改为“旋转的角度”,则本题的答案是什么?

【解析】由旋转的特征知AD=AB,又∠B=60°,

所以△ADB为等边三角形,所以∠DAB=60°,

故旋转的角度为60°.

答案:60°

6.(2013·南京中考)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α= °.

【解析】∵四边形ABCD和AB′C′D′均为矩形,∴∠BAD=∠B=∠D′=90°.

∵∠1=110°,∴∠2=110°,∴∠BAD′=70°,∴α=20°.

答案:20

【易错提醒】旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角,在本题中∠BAB′和

∠DAD′都表示旋转角,有时候往往误认为∠BAD′表示旋转角.

三、解答题(共26分)

7.(8分)如图,把△ABC绕着点A旋转,使点C和点D重合,画出旋转后的图形.

【解析】分别确定点A,B的对应点,画图如下:

【知识归纳】旋转作图的“四个步骤”

1.连:连接图形中关键点和旋转中心.

2.转:把连线按照要求绕旋转中心转动一定的角度.

3.截:在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,从而得到一个对应点.

4.连:按照原来的顺序连接各个对应点.

8.(8分)(2013·毕节中考)四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.

(1)求证:△ADE≌△ABF.

(2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心点,按顺时针方向旋转度得到.

(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.

【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,F是CB延长线上一点,∴AB=AD,∠ABF=

∠D=90°,

又∵DE=BF,

∴△ADE≌△ABF(SAS).

(2)∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BAD=90°,

∵△ADE旋转后能与△ABF重合,

∴∠FAE=∠BAD=90°.

故以A为旋转中心顺时针旋转90°.

答案:A 90

(3)由(1)△ADE≌△ABF可得∠FAB=∠EAD,AE=AF,

∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE,即∠FAE=∠BAD=90°,∴△AEF为等腰直角三角形,

∴S△AEF=AE·AF=AE·AE=AE2.

若BC=8,DE=6,则AD=BC=8,

AE===10,

S△AEF=AE2=×102=50.

答:△AEF的面积为50.

【知识归纳】找旋转中心的两个方法

1.旋转的过程中位置没有变化的点.

2.旋转中心就是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点.

【培优训练】

9.(10分)(2013·北京中考)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

(1)如图(1),直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示).

(2)如图(2),∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明.

(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.

【解析】(1)∠ABD=30°-α.

(2)△ABE为等边三角形.

理由:连接AD,CD,∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD, 则BC=BD,∠DBC=60°,

又∵∠ABE=60°,∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α;

∵△BCD为等边三角形,在△ABD与△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SSS),

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α,

∵∠BCE=150°,

∴∠BEC=180°--150°=α. 在△EBC与△ABD中,

∴△EBC≌△ABD(AAS),

∴AB=BE,又∵∠ABE=60°,

∴△ABE为等边三角形.

(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°.

∴∠DCE=150°-60°=90°,

∵∠DEC=45°.

∴△DCE为等腰直角三角形,

∴DC=CE=BC,

∵∠BCE=150°,∴∠EBC==15°. 而∠EBC=30°-α=15°,∴α=30°.