2016数学建模B题-小区开放对道路通行的影响

2016全国大学生数学建模B题

五、问题一模型的建立与求解

5.1 建立层次分析模型

对于评价小区开放对周边道路通行的影响，本文建立了一个层次分析模型。该模型的层次包括：

目标层：小区周边道路通行能力；

准则层：路网密度、道路总面积、道路平面交叉口数量、交通条件、道路服务水平；

方案层：小区开放前的道路交通、小区开放后的道路交通。

其层次结构如图5-1所示。

图5-1 层次结构图

5.2 构造成对比较矩阵

利用层次分析法，以1-9比较法为依据，构造因子对比标度表。

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每次取两个因子i x 和j x ，以ij a 表示i x 和j x 对上层Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵()=ij n n A a ?表示，称A 为Z X -之间的成对比较判断矩阵。容易看出，若i x 和j x 对Z 的影响之比为ij a ，则i x 和j x 对Z 的影响之比为1ji ij

a a =。 准则层两两因子影响之比构造的成对比较矩阵为：

11611/311721/21/61/711/51/811/251132811A ?? ? ? ?= ? ? ???

路网密度在小区开放前后的影响之比构造的成对比较矩阵为：

111/661B ??= ???

道路总面积在小区开放前后的影响之比构造的成对比较矩阵为：

211/221B ??= ???

道路平面交叉口数量在小区开放前后的影响之比构造的成对比较矩阵为：

3131/31B ??= ???

交通条件在小区开放前后的影响之比构造的成对比较矩阵为：

411/441B ??= ???

道路服务水平在小区开放前后的影响之比构造的成对比较矩阵为：

511/551B ??= ???

对于每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应的特征向量，利用MATLAB 依次求得矩阵A ，1B ，2B ，3B ，4B ，5B 的最大特征根和特征向量。

矩阵A 的最大特征根和特征向量如图5-2所示。

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图5-2 矩阵A 的特征根及特征向量

矩阵A 的最大特征根0=5.2123λ，对应的特征向量为：

[]0.35870.46930.06950.39020.729T

w = 矩阵1B ，2B ，3B ，4B ，5B 的最大特征根及特征向量如图5-3所示。

图5-3 矩阵1B ，2B ，3B ，4B ，5B 的最大特征根及特征向量 矩阵1B 的最大特征根1=2λ，对应的特征向量为：

[]10.16440.9864T

w = 矩阵2B 的最大特征根2=2λ，对应的特征向量为：

[]20.44720.8944T

w = 矩阵3B 的最大特征根3=2λ，对应的特征向量为：

[]30.94870.3162T w =

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矩阵4B 的最大特征根4=2λ，对应的特征向量为：

[]40.24250.9701T

w =

矩阵5B 的最大特征根5=2λ，对应的特征向量为：

[]50.19610.9806T

w =

其中，1w ，2w ，3w ，4w ，5w 由于已被归一化，所以均可作为准则层各项对目标层的权向量。 5.3 一致性检验

一致性指标

1

I n

C n λ-=

-（1）

λ为待检验一致性矩阵的最大特征值，n 为该矩阵的阶数。

当I C =0时，该矩阵为一致阵。然而在实际情况下，I C =0是很难实现的，引入随机一致性指标I R ，对于不同的n ，I R 不同，如表5-2所示。

对于3n ≥的成对比较矩阵，将它的一致性指标I C 与同阶的随机一致性指标

I R 之比称为一致性比例R C 。当0.1I

R I

C C R =

<时，认为矩阵的不一致程度在允许的范围内，可用其特征向量作为权向量。

利用上述方法，求得A ,1B ，2B ，3B ，4B ，5B 的值依次为0.0531、0、0、0、0、0。

所以1B ，2B ，3B ，4B ，5B 均为一致阵。

查表计算矩阵A 的R C 值为0.0474，显然，0.1R C <，那么矩阵A 的不一致程度在允许范围内。

5.4 计算组合权向量

由准则层各项对目标层的权向量1w ，2w ，3w ，4w ，5w 已求出，那么构造出矩阵：

()12

34

5=W w w w w w

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则所求方案层组合权向量为

2W W w =?（2）

其中，

0.16440.44720.94870.24250.19610.98640.89440.31620.97010.9806W ??= ??? ()0.35870.46930.06950.39020.7029T

w = 求得：

0.5672= 1.8633W ?? ???