2015年高考数学《新高考创新题型》之3：三角函数与解三角形(含精

之3.三角函数与解三角形（含精析）

一、选择题。

1．已知函数f(x)的导函数图象如图所示，若 ABC为锐角三角形，则一定成立的是（ ）

（A）f(cosA) f(cosB) （B）f(sinA) f(cosB) （C）f(sinA) f(sinB) （D）f(sinA) f(cosB)

2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（ ）

A.4 B. C.

D.

3．如图所示，为了测量某湖泊两侧A,B间的距离，李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（ ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c）： ① 测量A,C,b ② 测量a,b,C ③测量A,B,a 则一定能确定A,B间距离的所有方案的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0

4．已知S

20000

(sin

20000

sin

2 3 10000

sin LL sin)，则与S的

200002000020000

值最接近的是（ ）

A．0.99818 B．0.9999 C．1.0001 D．2.0002

5．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角 的大小（仰角 为直线AP与平面ABC所成的角），若

AB 15m，AC 25m， BCM 30 ，则tan 的最大值是（ ）

A.

30453

B. C. D. 51099

x y 2 0

22

6．过平面区域 y 2 0内一点P作圆O:x y 1的两条切线，切点分别为A,B，

x y 2 0

记 APB ，则当 最小时cos 的值为( )

1199 B. C. D.

22010二、填空题。 7．若数列

an 满足a1 2,an

1

,(n 2,3,4, )，且有一个形

如

1 an 1

an n

1

的通项公式，其中 、 均为实数，且 0， ，则

22

________，

8．设角 的终边在第一象限，函数f(x)的定义域为 0,1 ，且f(0) 0,f(1) 1，当x y

f(

时，有

x y11

) f(x)sin (1 sin )f(y)f() 244成立的 的集合，则使等式

为 ．

9.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东 45，与观测站A距离

海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北

(0 45)的C处，且cos

为海里／小时___________．

4

，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速5

10.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ= .

11．已知O是锐角 ABC的外接圆的圆心，且 A

4

，其外接圆半径为R,若

cosBcosC1

AB AC mAO，则m ____

cb2R

12．观察下列一组等式：

22

①sin30+cos60+sin30cos60=

3322

，②sin15+cos45+sin15cos45=， 44

22

③sin45+cos75+sin45cos75=

3

，……， 4

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__

3．A.

【解析】根据图形可知，a,b可以测得，角A,B,C也可以测得，利用测量的数据，求解A,B两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离，故选A. 4．B.

2

sinxdx cosx|0 1，

【解析】根据题意可知，S可近似看成又∵

20

2 3 10000

S (sin sin sin LL sin)

2000020000200002000020000

故选C. 5．D

2

sinxdx，

【解析】由勾股定理知，BC 20，过点P作PP BC交BC于P ，连结AP ，

(0 依题意，tan

BP x(x 0)，

2

)取最大值，点P 在点B的左边，则tan

PP

，设AP

因为 BCM 30，则CP x 20，

在Rt APP 中，AP

2

xx2

) 152 (3x 20)2，，在Rt ABP 中由勾股定理得(

tan tan

x21

整理得tan ，

2

225 (3x 20)625 3x2x

7．

2

；0 3

【解析】根据递推关系式a1 2,an

1

,(n 2,3,4,)可得

1 an 1

a2

1111

1,a3 ,a4 2 a1，所以该数列 an 是周期数列，周期1 a11 a221 a3

1

是该数列的一个通项公式，所以2

为T

3，又因为an n

T

2

3

2

，又因为当n

1时，3

a1 2 12 ，因为 ) 2 sin( )

323| |

2

2

2

6

2 7 2

，所以由sin(可得 ) 363

2 2 2 ，进而可得 0或 ；当

时，或333333

2 11 1 2 an n ，此时当n

2时，a2 2 ) 1，

33223 2 3

不符合题意，舍去；当

0时，an

2

3 1

n ，此时n 1,2,3时，分别得到 2

a1 2,a2 1,a3

12 ，满足题意，综上可知 ， 0.

32

| 2k ,k Z

6 8．

1

f() f(1)si n

x 1,y 02【解析】令得：

1

(1 si nf) (0) sinx ,y 0

2，令得：

11111f() sin2 f() f()sin (1 sin )f(0) sin2

4得：4，又角 的终边在42，由4

1 | 2k ,k Z sin ,

6 . 2因而 的集合为 第一象限，所以

9

．【解析】由已知，sin

3

, BAC 450 , 5

所以，

cos BAC cos(450 ）=

2

2

2

， cos +sin ）=

210

由余弦定理得，BC AB AC 2AB AC cos(45 ）

=800+100-2 10

，

340,

故BC （海里）

10

该货船的船速为/小时．

22

12．sinx cos(x 30) sinxcos(x 30)

3 4

【解析】解：观察下列一组等式：

①sin30°+cos60°+sin30°cos60°=3 /4 ， ②sin15°+cos45°+sin15°cos45°=3 /4 ， ③sin245°+cos75°+sin45°cos75°=3/ 4 ，…， 照此规律，可以得到的一般结果应该是

sin（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos（30°-x），右边的式子：3 /4 ， 故答案为：sin（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos（30°-x）=3 /4

2

2

2

2

2

2

2

2

2