高三导数的概念及其几何意义

f ( x x) f ( x) f ( x) lim x 0 x

一、说教材1、教材内容与地位： 《导数的概念》是高中数学人教版第三 册(选修 ) 第三章第一节第3、4小节的内 容。是在学生学习了函数极限，掌握极限的 运算法则之后进一步研究函数性质的又一工 具！同时极限和导数也是进一步学习数学和 其他自然学科的基础，是研究现代科学技术 必不可少的工具！高中阶段主要要求学生了 解并掌握利用导数解决判断函数单调性与求 函数最值及求曲线的切线方程问题！从而提 供研究这类问题的一般方法！

2、教学内容本节主要学习导数的概念及其几何意 义，并利用导数的定义求函数的导数及 求切线的斜率。通过回顾曲线的切线及 瞬时速度的概念介绍函数增量的概念类 比引入导数的概念，并得出按定义求导 数的一般步骤。类比曲线切线的概念给 出导数的几何意义，并得出求曲线切线 的一般方法。

根据大纲考纲的要求，以及本节教材的特 点和高三学生的认知特点，我把本节课的教 学目的确定为： (1)、使学生理解导数的概念及几何意义； (2)、使学生掌握用定义求函数的导数及求 曲线斜率的一般方法； (3)、通过导数的教学进行客观事物的相互 制约、相互转化、对立统一的辨证关系等观 点的教育，培养辨证唯物主义观点，提高逻 辑思维能力和辨证思维能力。进一步提高学 生学习数学的积极性。

3、教学目的

4、教学重点、难点对于高三学生来说已具备一定的接受新事 物独立思考并解决问题的能力，因此本节的重 点是使学生掌握根据导数的定义求简单函数的 导数的方法，主要通过具体实例的讲解结合学 生的练习总结一般方法突破重点。难点是对导 数概念的理解，导数概念比较抽象，其定义学 生也不太熟习，教学中通过瞬时速度，光滑曲 线的切线斜率等实际背景，从物理和几何两方 面入手，引导学生逐步理解，同时根据定义求 导数练习帮助学生进一步理解导数的概念。

二、教法分析类比联想、研究探讨、直观想象、启发诱导、建 立模型、讲练结合、学会应用、发展潜能、形成能 力、提高素质。 由于本节课安排在高中数学学习的后期，正是 学生提高逻辑思维能力的最佳时机，因此，在教学 中，一方面通过电教手段，把概念，方法或知识关 键点制成了投影片，既节省时间，又增加其直观性 和趣味性，起到事半功倍的作用；另一方面，在教 学中，通过具体问题的分析与处理，将导数的概念 这一知识点形成的全过程逐步展现给学生，让学生 体会知识发生、发展的过程及其规律，从而提高学 生分析和解决实际问题的

能力。

三、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中 心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导 学生学会学习。根据本节内容的特点，这节课 主要是教给学生“动脑想；动手练，严格证， 多训练，勤钻研。”的研讨式学习方法。这样 做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与 意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的 方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这 样做，才能使学生“学”有新“思”,“思” 有所“得”,“练”有所“获”。学生才会逐 步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高 学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适 应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

四、教学流程：

1、 复习：如何求曲线在P(x0,y0) 点的斜率？解题

①求△y;②求 y x y x

步骤：

③求△x→0时 的极限，得过点 P(x0,y0)的切线的斜率； ④用点斜式方程求切线方程。 说明：①求曲线在P (x0,y0)的斜率，则不必求y0, 若求切线方程，则需求y0; y ②求切线斜率时，观察△x→0时 x 的极限

2.引入新课 —— 导数的概念定义：设函数y=f(x)在点x0 处及其附近有定义， 当自变量x在点x0 处有改变量 x时，函数y相应的 增量 y= f(x0+ x) - f(x0)

y 比值 就叫做y f ( x )在x 0到x 0 x之间的平均变化率 ,即 x

y f ( x0 x) f ( x0 ) x y x

如果当 x 0 时， x 有极限，我们就说函数f(x)在点x0 处可导, 并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数(或变化率) 记作 f ( x0 )或y |x x0

f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 即 f ( x 0 ) lim x 0 x

说 明：从以下方面透析概念1.函数应在点

x0 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x 趋近于0可正、可负、但不 为0,而 y 可能为0 y 3. 是函数 y f (x) 对自变量 x 在 x x 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 y f (x)上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 x, f ( x0 x) )的割线 的斜率。。

4.导数是一个局部概念，它只与函数 y f (x) 在 x 0 及其附近的函数值有关，与 x 无关。 5.在定义式中，设 x x0 x,则 x x x0,当 x 趋近于0时， 趋近于 x 0,因此导数的定义式可写成 x

f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim 。 x o x x0 x x x0/

6.若极限

x 0

lim

f ( x0 x) f ( x0 ) x

不存在，则称函数 y f (x)

在点 x 0 处不可导。

7、求函数y=f(x) 在点 x0处导数的方法： (1)求函数改变量

y f ( x 0 x) f ( x 0 ) (2)求平均变化率 x x f ( x 0 x) f ( x 0 ) y (3)求极限， l

im lim x 0 x x 0 x

△y = f(x0 + △x)-f(x0)

例1:求 y = x2 在 x = 1处的导数 (分析讲解)

3、导(函)数的定义：如果函数 f(x)在开区间 (a ,b)内的每一点都可导，此时对于 每一个x ∈(a ,b) ,都对应着一个确定的导数 f ( x ),从而构成 了一个新的函数 f (x ) 。 称这个函数

f ( x ) 为函数 y = f(x )在开区间内的导函数，

简称导数。也可记作 yˊ,即

y f ( x x ) f ( x ) f ( x ) y lim lim x 0 x x 0 x说明：把x0换成x就是求函数 y =f(x)的导数的一般方法

函数 y = f(x)在 x0 处的导数 就是函数 y = f(x)在开区间 (a ,b)〔 x0 ∈(a ,b)〕上导数 f ( x ) 在 x0 处的函数值。 ' ' 即： 所以函数 y = f(x)在 x0 处的导数也记作

y | x x 0 f ( x0 )

f ( x0 )

例2:已知函数 y = x (1)求 yˊ (2)求函数 y = x 在 x = 2 处的导数。

解：函数改变量:

y = x + x x1

算比值, y x

x x x x

x x x

y 1 1 lim lim 取极限, x 0 x x 0 x x x 2 x

所以

y

1 2 x

学生练习

2 y | x 2 f ( 2) 4' '

P114: 1 、2 (以学生演排教师评讲的形式 使学生基本掌握用定义求导数的一 般方法)

4. 导数的几何意义函数 y=f(x) 在点x0处的导数的几何意义， 就是曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜 率。 曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线斜率是f ′(x0) 切线方程是 y y0 f ( x0 )( x x0 )例3 如图，已知曲线 (1)点P处的切线的斜率. (2)点P处的切线的方程. (引导学生完成，并总结一 般方法) 学生练习演排：P114 :3、41 8 y x 3上一点P(2, ), 求 3 343

yy 1 x 3

32 1

Px 1 2

-2 -1 O -1 -2