无限冲激响应数字滤波器的设计(一)

第六章 无限冲激响应数字滤波器的设计无限冲激响应（IIR）数字滤波器可以实现用较少的阶数达到要求的幅度特性，因此， 所需的运算次数及存储单元都较少，所以，在要求相位特性不严格的场合使用 IIR 数字滤波 器是适宜的。 IIR 滤波器的系统函数可以用极、零点表示如下：H ( z) =∑ bk z k1 ∑ ak zk =1 k =0 N kM=A∏ (1 c zkM 1)∏ (1 dk =1k =1 Nkz 1 )一般满足 M≤N，这类系统称为 N 阶系统，当 M>N 时，H(z)可看成是一个 N 阶 IIR 子系 统与一个(M-N)阶的 FIR 子系统的级联。 以下讨论都假定 M≤N。 IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足 给定的性能要求。 设计 IIR 数字滤波器一般有以下三种方法： 　 (1) 模拟-数字转换法 先设计一个合适的模拟滤波器， 然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 这种方法很方 便， 因为模拟波滤波器已很成熟， 它有很多现成的设计公式， 并且设计参数已经表格化， 使 用起来既方便又准确。 (2) 直接法 滤波器系统函数的零点和极点位置完全决定了滤波器的幅度和相位响应。所以，通过合 理设置数字滤波器系统函数的零、极点，即可得到符合要求的滤波特性。 这种方法往往需 要多次调整零、极点位置，称为直接法，也称为零、极点累试法。 (3) 计算机辅助设计法。 这是一种最优化设计方法。 它先确定一种最优化准则， 例如设计出的实际频率响应的 幅度与理想频率响应的幅度的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等， 然后确 定满足该最佳准则的滤波器系数ak、bi。 这种设计一般不易得到滤波器系数的显式表达式， 而是需要进行大量的迭代运算，需用计算机辅助设计完成。 本章主要讨论 IIR 滤波器的特点及主要设计方法。1

§6-1 IIR 数字滤波器的特点及结构一、IIR 滤波器的主要特点 IIR 滤波器的差分方程及系统函数分别为：y ( n) = ∑ bi x( n 1) + ∑ ai y ( n i )i =0 i =1MN（6-1）Y ( z) = H ( z) = X ( z)∑b zi =0 N i i =1M i1 ∑ ai z（6-2） i这种系统结构中存在反馈环节，因此称为递归系统；又因为该系统的冲激响应 h(n)是 无限长序列，所以又称为无限冲激响应（Infinite Impulse Response----IIR）系统。 这种类型的滤波器有如下特点： （1）单位冲激响应 h(n)是无限长序列 可将 IIR 滤波器的系统函数展开成部分分式：Y ( z) H ( z) = = X ( z)∑b zi =0 N i i =1M i1 ∑ ai z i=∑Ak 1 k =1 1 ak zN单位冲激响应为 h( n) =∑ A a u (n) ；显然，其是无限长的。n k =1 kkN（2）系统函数 H(z)在有限 Z 平面存在极点 因此，存在稳定性问题。为了使系统是因果稳定的，需要使极点在单位园内。即，应 采取措施使 | ak |< 1,k = 1, 2,L , N（3）结构上存在输出到输入的反馈 可改进滤波器幅频特性，因此，阶数少，需要的存储单元数目及乘法运算次数少，系 统的速度快，结构简单，适合对实时性高的场合。 由于 IIR 滤波器具有上述特点，导致 IIR 滤波器在设计上具有如下特点： 1、阶数少、运算次数及存储单元都较少，适合应用于要求相位特性不严格的场合。 2、有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。 3、是递归系统，存在稳定性问题。因此，设计时需要研究其稳定性。 4、在相同阶数下，由有限字长效应引起的量化误差较大，并且其误差与其实现结构 有关。二、无限冲激响应（IIR）数字滤波器的结构 根据 IIR 的表示，IIR 有 4 种基本结构：直接型（直接 I 型）结构、规范型结构（直接 II 型） 、级联型结构和并联型结构。2

1 直接型结构 也叫直接 I 型结构（Direct form I structure） 。这种结构是直接通过差分方程得到的。 一个 N 阶的 IIR 滤波器的输入输出关系可以用如式（6-1）所示的 N 阶的差分方程来描 述。 把式（6-1）重写如下：y ( n) = ∑ bi x( n i ) + ∑ ai y ( n i )i =0 i =1MN从这个差分方程表达式可以看出， 系统的输出 y(n)由两部分构成： 第一部分∑ b x(n i )i =0 iM是一个对输入 x(n)的 M 阶延时网络结构，把每节延时抽头后加权（加权系数是 bi ）相 加，构成一个横向结构网络。 第二部分∑ a y (n i) 是一个对输出 y(n)的 N 阶延时的横向i =1 iN结构网络，是由输出到输入的反馈网络。这两部分相加构成输出 y(n)，如图 6-3 所示。 从图上可以看出，直接Ⅰ型结构由上述两部分网络级联而成，前一个实现零点，后一个 实现极点，该结构需要 M+N 个延时单元和 M+N+1 个乘法器，M+N 个加法器。 x(n)b0y(n)a1 a2z 1 z 1b1z 1 z 1bM-1aN-1z 1bMaN 图 6-1z 1直接 I 型结构（Direct form I structure）2 规范型结构-- Canonic form structure（直接Ⅱ型, Direct form I structure） 规范型结构又称直接Ⅱ型结构。由图 6-2，直接Ⅰ型结构的系统函数 H(z)也可以看成是 两个独立的系统函数的乘积。输入信号 x(n)先通过系统 H1(z)，得到中间输出变量 y1(n)，然 后再把 y1(n)通过系统 H2(z)得到输出信号 y(n)。 即H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) =∑b zi =0 N i i =1M i1 ∑ ai z（6-3） i式中,H1 ( z ) = ∑ bi z i ，对应的差分方程为: y1 ( n) = ∑ bi x( n i )i =0 i =0MM3

H 2 ( z) =1 1 ∑ ai zi =1 N i，对应的差分方程为： y ( n) =∑ a y ( n i ) + y ( n)i =1 i 1N假设所讨论的 IIR 数字滤波器是线性移不变系统， 显然交换 H1(z)和 H2(z)的顺序不会影 响系统的输入输出关系，即H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) = H 2 ( z ) H 1 ( z )若系统函数 H(z)的分子阶数和分母阶数相等， M=N 时， 即 其结构如图 6-3 所示。 由图可见， 输入信号 x(n)先经过反馈网络 H2(z)，得到中间输出变量y2 (n) = ∑ ai y2 (n i ) + x (n)i =1N然后，将 y2(n)通过系统 H1(z)，得到系统的输出 y(n)y (n) = ∑ bi y2 (n i )i =0M由图可见，图的中间的两条串行延时支路都是对中间变量 y2(n)进行延迟的延时支路， 是完全相同的，可以合并这两条延时支路，合并后得到如图 6-4 所示的直接Ⅱ型结构（图中 取 M=N） ，或称规范型结构。y 2(n)－1 a1 zx(n)b0z－1 b 1y(n)x(n)－1 a1 zb0 b1 b2… …y(n)a2…z－1y 2(n －1) y 2(n －2)z－1 b 2a2 z…－1… … …图 6-2 直接Ⅰ型的变形结构比较图 6-1 和图 6-3 可知：这种结构需要 M+N 个延时单元和 M+N+1 个乘法器，M+N 个加法器。对 N 阶差分方程，直接Ⅱ型仅需 N 个延时单元（一般 N≥M） ，比直接Ⅰ型结构 的延时单元少，是实现 N 阶 IIR 滤波器所需的最少延时单元，因此，又称规范型（Canonic form structure） 。由于参加参与反馈的噪声源减少一半，这种结构的误差或输出噪声要比直 接 I 型的要小。 这种结构用硬件实现可以节省寄存器数目， 比直接Ⅰ型经济； 用软件实现则可节省存储 单元，因此比直接型好。但是，对于高阶系统，这两种直接型结构表示的滤波器的系数 ai ，bi 对滤波器的性能控制作用不明显，因为，滤波器的每一个极点（或零点）是由所有系数 ai , i = 1, 2,L , N （或 bi , i = 1,..., M ）共同决定的，因而调整零、极点困难，每调整一个极4……－1……a N－1 aN zb N－1－1a N－1 aNb N－1 bNy 2(n －N)zbNz－1图 6-3 接Ⅱ型结构（规范型结构） （Direct form II structure）

点（或零点）需要调整所有系数 ai （或 bi ） ；由于这样的特点，滤波器性能对系数的量化效 应敏感度也很高（因为某一系数的一个微小变化可能导致极点或零点的较大变化） ，从而导 致滤波器性能发生较大变化，甚至导致系统的不稳定 …… 此处隐藏：12591字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……