3.1 二维随机变量及其分布

概率论与数理统计

第三章 随机变量到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及 其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描 述还不够，而需要用几个随机变量来描述。比 如观察炮弹在地面弹着点e的位置，需要用它 的横坐标X(e)与纵坐标Y(e)来确定，而横坐标 和纵坐标是定义在同一个样本空间Ω ={e}={所 有可能的弹着点}上的两个随机变量。由于从 二维推广到多维无实质性的困难，章我们重点 讨论二维随机变量。

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第一节 二维随机变量及其分布3. 1 二维随机变量一、定义3.1: 一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是Ω Ω={ω } , 设 X=X (ω) 和 Y=Y (ω)是定义在Ω上的 随机变量, 由它们构成的一个向量(X , Y) , 称为 二维随机向量或二维随机变量 . 注 二维随机变量(X , Y)的性质不仅与X 与 Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系, 因此 需将(X , Y)作为一个整体进行研究 .

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二、定义3.2: 设 (X , Y)是二维随机变量, 对于任意实数 x , y ,

二元函数

F ( x, y) = P X x Y y

= P X x , Y y 称为二维随机变量 (X , Y)的分布函数, 或称为随机变量 X 和 Y的联合分布函数 .F ( x, y )在( x, y )处的函数值 即( X , Y )落在阴影区的概率O

y

(x, y)

x

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三、定理3.1: 任一二维联合分布函数F( x , y )必具有4条基本性质:(1)有界性 对任意的 x 和 y , 有 0 F ( x, y ) 1 , 且

F ( , y) = lim F ( x, y) = 0 ,x

F ( x, ) = lim F ( x, y) = 0 ,y

F ( , ) = lim F ( x, y) = 0 ,x, y

F ( , ) = lim F ( x, y) = 1 .x, y

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(2)单调性

F ( x, y ) 分别对 x或 y 是单调不减 , 即当 x1 < x2 , 任意 y R 有 F ( x1 , y ) F ( x2 , y ) ; 当 y1 < y2 , 任意 x R 有 F ( x, y1 ) F ( x, y2 ) .

(3)右连续性

对每个变量均是右连续的, 即F ( x + 0, y ) = F ( x, y ) , F ( x, y + 0) = F ( x, y ) .

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(4)非负性 对任意 x1 < x2 , y1 < y2 , 有

P x1 X x 2 , y1 Y y2 y y2

= F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) + F ( x1, y1 ) 0(x1 , y2) (x2 , y2)

性质(4)的几何意义

y1 O

(x1 , y1)

(x2 , y1)

注 任一二维分布函数F ( x , y )必具备这4条性质; 反之, 具备这些性质的二元函数F ( x, y )必为某个二维随机变量的分布函数 .

x1

x2 x

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四、推广: 1、n维随机向量: 设 E是一个随机试验，它的样本空间是Ω={ω } ,设 X 1 = X 1 ( ) , X 2 = X 2 ( ) , , X n = X n ( )

是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的一个n 维向量( X 1 , X 2 , , X n )称为n 维随机向量或n 维随机变量 .

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2、联合分布函数:对于任意n个实数 x1 , x2 , , xn , n元函数

F ( x1 , , xn ) = P X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn 称为n维随机变量( X 1 , X 2 , ,

X n )的分布函数或 随机变量X 1 , X 2 , , X n的联合分布函数 .它也具有类似于二维随机变量分布函数的性质.

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作 业习 题 三P 84 : 3