场论中的梯度_散度_旋度和两个重要的积分公式

张量

200 2

年

2

月1

湖北大学成人教育学院学报期Jo u r n a

F

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b

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,

200 2

第

20

卷

第

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1

场论中的梯度散度旋度和两个重要的积分公式刘荣道(湖北大学物理学与电子技术科学学院武汉 4 3 0 0 6 2 ),,

、

、

【摘

要1

电子类各专业学生在学习课程电磁场与微波技术的过程中往往感到困难,,,

“

”

。

这是因为、、

这门课程的理论性较强概念较抽象应用的数学知识较多尤其是场论部分中所涉及的梯度散度旋度概念及两个重要的积分公式即高斯公式和斯托克斯公式的理解和掌握是必不可少的但在常见的教材中较少步及这部分内容因此本文作较为详细地介绍以期减少学习中的困难【键词】场论关I中图分类号 10,,。

,

梯度.

散度

旋度

积分公式

4 12

3

[文献标识码 I A

【章编号 1 1 0 0 9一 0 4 4 4 ( 2 0 0 2 ) 0 1一 0 0 5 8一 0 4文

一标 t场的梯度矢,场的散度和旋度

、

、

值线可以形象地了解到物理量,

u

在场中的总的分。

所谓标量场就是在全部空间或部分空间中的各点存在着一个标量它的数值是空间位置的函数一个标量场可以用一个标量函数来表示例,,,

,

布状况这是一个整体性的了解研究标量场的另一个重要方面还要对它作局部的了解即考察这个量点P,,,

u

随空间的变化我们注意到对空间任意一,

,

如气象学上的温度场电学上的势场等等,

,

。

同样

,

在经过该点的等值面的法线 P n的方向上,

所谓矢量场就是在全部空间或部分空间各点存在着一个矢量它的大小和方向是空间位置的函,,,

经过单位长度该量的改变最大例如在不平的地面上作许多等高线那么就任一点的各方向Pn、

,

P

说经过

,

Pn

数一个矢量场可以用一个矢量函数来表示例如流体力学里的速度场电磁学上的电场磁场等,、

l P……中在等高线的垂线方向 P,。

,

上高度的变化率最大也就是最陡

一般说我们

,

等

。

就以这最大的改变率来描写这标量场的空间变为了考察标量场在空间的分布和变化规律,

化其他方向(例如,

,

P幻的改变率和 P:

n

方向的改

需引进等值面方向导

数和梯度的概念

、

。

变率的关系可以推算如下设,

P

点的标量值为。

一个标量场可以用一个标量函数来表示例如在直角坐标中标量u,

u

。,

即点 P在

u

(x

,

yx,

,

:

)=,

u。

的等值面上u。

邻近的Pn

u

是场中点 P的单值函数

一个等值面是 u (

y,

z

)一

+

△u

,

法线

和这。

一

u

(p )u

,

它可表示为(x,,

等值面的交点是,

P

n

l P和这等值面的交点是 P l,r

=x,

u

y

,

z

,

)。

而 u ((x,

y

z

)c

是坐标变量的连续可微函数

方程

u

y

,

z

)~

( c为任意常数 )表示标量场中标量相,

法线方向的改变率可记为华即飞一一目 i功~~~△u加。丽~粼理 P P五/‘’切

”砂.

’

J

/切

’

,-

,

等的点连成的曲面称为等值面如地理学上的等

,

同样沿

,

P‘方向的改变率记为

高线等温线等等在标量场中通过等值面和等

、

,

,

令,

,

称为标量

。

在

点

P

处沿任意方向 P的方向导数即 l

收〔稿日期]2 00 1一 10一 12作刘 0〔者简介〕荣道( 1 95一

)

,

男湖北老河口人湖北大学物理学与电子技术科学学院副教授.

,

,

。

58

·

张量

丽一深思因为 P,

而

,

.

△u

即I,

i= 1n

l

P P !一卜 0

。 n P P坠一l

A

在 d s法线方向的分量,

A

n

乘以,

ds

所得的物理

n

是法线所以丝艺

量称为冗通过 d s的通量 d争即d争 A一

d n

s一冗

·

而s

~

冗

.

d

弓,

I P I~ 0

1im艺 P P n P I=一一一 PP n P甲月 l

这是开表示面积元的法线方向的单位矢量 d弓是n,·

PP I一 0

1i m

~

c o s

匕n pl=,

l

,

,

其中n

、

,

l

:

分别

一面积元的矢量表示即 d弓而s

,

。

如果规定垂直于

PP

n

,

P PI

方向的单位矢量于是二

力线方向的单位面积通过的力线数 (即力线密度 )

而_

△u.

人 . .

.

可一部户 n思丙

抛I l二r

一,

等于r

A

,

那么 d小又表示通过面积元 d s的力线数,

,

一

川u

¹(x,

对某一曲面 S通过它的通量是,一

而定义方向为二数值为y,

器

的矢量为标量场

工

:

.

。、,

z

)

的梯度记为gr a

,

如果是闭曲面规定每一面积元的法线都以向外

d

u

=

而 I“

一,

丽一g

ȼ

为正因而流出闭曲面的通量为正流人的通量为负通过该闭曲面流向外的总通量是,一,

,

,

由¹得

令,

d a r二 l;,

此式表示方向导数等于梯度沿 P方向的分量 P l l是任一方向如果

我们分别命它是直角坐标系三个坐标轴的方向那么就得,

乡

S

:

.

。、

矢量场在闭曲面 S上的通量是 S内的通量源决定的它是一个积分量只能描绘闭合面内较大范围,,

丈gr a

而=叙

’

,

a

、

·

g。

r a-

一‘

-

d

u

,’

一即’

而一 a十泛一,y,

.

·

g,

r a-

了_,

d_

u

,’

一.

而一带浇、,

a

:

·

的源的分布情况它并不能说明 S所包围的体积内每点的性质为此需要引人矢量场散度的概,,

,

d

u

此式表明而而而一好分别是梯度天量叙即丁刚‘‘ J

_

_

,

~

_

.

_

念

。

r d g a

u

在

x

,

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