力学 第四五章弯曲内力应力

第10章

梁的弯曲内力

梁的弯曲是材料力学 部分最重要的内容 弯曲变形是工程构件 最常见的基本变形

工程实际中的弯曲问题P

P P P

P P P

P

本单元主要内容梁弯曲的概念 梁的载荷与支座反力 梁的内力 梁的应力 梁的强度条件

10-1 梁弯曲的概念P q M

RA

RB

产生弯曲变形的杆称为梁 梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形

平面弯曲的概念我们只研究矩形截面梁的弯曲

矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲

10-2 梁的载荷与支座反力1、梁的载荷# 集中力 # 均布载荷 # 集中力矩 正负号规定： 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负； 集中力矩逆时针为正、顺时针为负。

2、梁的支座反力梁的支承方法及反力名 称图 示 法 反 力 未知反力数

滑动铰支 Ry

1 (Ry)

Rx 固定铰支 Ry M 3 (M, Rx,Ry) Ry 2 (Rx,Ry)

固 定 端

Rx

3、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型

简支梁

悬臂梁

一端固定铰支座 一端活动铰支座 外伸梁

一端固定一端自由 一端固定铰支座 活动铰支座位于梁中 某个位置

4、求支座反力的平衡方程求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系 求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件

举例说明 y

X 0,

Y

0,

M

0

左边固定铰支座，有两个约束反力 P B x

AR AxR Ayl/2

右边活动铰支座，1个约束反力

X 0

R Ax 0R Ay R By P 0R By l P l / 2 0

YR By

0A

lR By P / 2

M

0

R Ay P / 2

再以悬臂梁为例假设该悬臂梁承受均布载荷 Rx 固定端有3个约束反力 建立平衡方程求约束反力 MA

y

q x

A Ry

l

B

X 0

Rx 0Ry q l 0M ql l 2 0

Y M

0 0

R y qlM 1 2 ql2

A

A

A

10-3 梁的内力# 剪力和弯矩 # 剪力和弯矩的正负号规定 # 截面法求内力 # 剪力图和弯矩图

1、剪力和弯矩与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类： 剪力和弯矩 y

考察弯曲梁的某个横截面M

在截面形心建立直角坐标 系

zQ

x

剪力与截面平行，用Q表示 弯矩作用面在纵向对称面内 方向沿Z 轴方向 用M 表示

2、剪力和弯矩正负号的规定剪力正负号正Q Q

负

对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负

弯矩正负号M M M

正 负使梁下凹为正，向上凸为负

M

3、截面法求剪力和弯矩 y

a

P1

P2

RAx

A

m

B

xRB

xRAy RAx a P1

m

Q

M 对截面中心建立力矩平衡方程

RAy

MR Ay P1 Q 0

0

M

P1 x a R Ay x 0

Y

0

Q R Ay P1

M R Ay x P1 x a

说明：1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。 2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 平衡方程。 3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 建立在截面的中心。