2009北京模拟几何代数综合

2009北京几何代数综合 1

1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2 bx c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y kx 1交抛物线于点C 2,3 ． （1）求直线AC及抛物线的解析式；

（2）若直线y kx 1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y kx 1顺时针旋转90 得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求 APE的面积；

（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为

顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点F

2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y 交y轴于点A．

（1）若一个等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，求直角顶点B的坐标；

，直线AC交x轴于点C，x

33

（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为 0 180 ，当点B落在直线AC上的点B 处时，求 的值；

（3）在（2）的条件下，判断点B 是否在过点B的抛物线y mx2 3x上，并说明理由．

3. 抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

4．将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点

C、A分别在x轴和y轴上.在OA、OC边上选取适当的点E、F，连接EF，将△EOF沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处．

图① 图② 图③

（1）如图①，当点F与点C重合时，OE的长度为 ；

（2）如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G.

求证：EO=DT；

（3）在（2）的条件下，设T(x，y)，写出y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ； （4）如图③，将矩形OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F

与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G，求出这时T(x，y)的坐标y与x之间的函数关系式（不求自变量x的取值范围）．

5、如图，抛物线y ax bx 3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且OB OC 3OA．

（I）求抛物线的解析式；

（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线y

2

1

x 1交y轴于D点，E为抛物线顶点．若 DBC ， 3

CBE ,求 的值．

6．在平面直角坐标系中，抛物线y ax2 x c经过直线y 2x 4与坐标轴的两个交点B、C，它与x轴的另一个交点为A．点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点．

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）如图①，若过动点M的直线ME//BC交抛物线对称轴于点E．试问抛物线上是否存在点F，使得以点M,N,E,F为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图②，若过动点M的直线MD//AC交直线BC于D，连接CM．当 CDM的面积最大时，求点M的坐标？

图①

7．已知抛物线y

2

22

x bx c与x轴交于不同的两点A x1，0 和B x2，0 ，与y轴交于点C，且x1，x2是方3

程x 2x 3 0的两个根（x1 x2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积； （3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

8、.已知抛物线y x2 bx c经过点A(0,5)和B(3,2)点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问当 P在运动过程中，是否存在 P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若 Q的半径为r，点Q在抛物线上，当 Q与两坐标轴都相切时，求半径r的

9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy

中，抛物线y ax2 (1 x c经过A(2,0)，B(1,n) ，C（0，2）三点．

（1）求抛物线的解析式； （2）求线段BC的长； （3）求 OAB的度数．

参考答案

1解：（1）∵点C 2,3 在直线y kx 1上， 2k 1 3．解得k 1． 直线AC的解析式为y x 1． ∵点A在x轴上， A( 1，0)． 抛物线y x2 bx c过点A、C，

1

4 b 2，解得 抛物线的解析式为y x2 2x 3．

c 3．

22

（2）由y x 2x 3 x 1 4，可得抛物线的对称轴为x 1，B(3，0) E 1,2

根据题意，知点A旋转到点B处，直线l过点B、E．

设直线l的解析式为y mx n．将B、E的坐标代入y mx n中，联立可得m式为y x 3． P 0,3 ．过点E作ED x轴于点D.

S APE S APB S EAB

111

AB PO AB ED 4 3 2 2． 222

（3）存在，点F的坐标分别为3,0、3 0、 1,0、 1,0． 2．解：（1）在图1中，∵直线AC交x轴于点C，

0)．过点B作BE x轴于点E. ∴点C 2,0 ，即D(2，

∵ OBD是等腰直角三角形，直角顶点为B， OB BD, BDE 45 ，

1

OE ED BE OC 1,

2

∴B(1,1)

（2）∵直线AC交y轴于点A，

∴A(0,

． 3

在图2中，过点O作OF AC于点F. 在Rt△AOC中， tan ACO

AO OC ACO 30 ， FOC 60 ,OF 1．

在Rt△B OD中，利用勾股定理，得OB Rt△OB F中， cos B OF

OF ， OB 2

B OF 45 ． B OD 45 ， DOF 90 ， COD 30 （3） 抛物线y mx2 3x过点

B(1,1)， m 2， 抛物线的解析式为y 2x2 3x

设点B

a,b ，则a2 b2 2 2．又点B a,b 在直线AC

上， b

a2 (2，

a 2，

a

b

11将a 代入抛物线的解析式y 2x2 3x中，

22

2 2 3 b.

∴点B 在过点B的抛物线y 2x2 3x上

3、解：（1）设直线AC的解析式为y kx 3，把A（－1，0）代入得k 3.

∴直线AC的解析式为y 3x 3. ………………………………………………1分 依题意知，点Q的纵坐标是－6.

把y 6代入y 3x 3中，解得x 1，∴点 Q（1， 6）. ………………2∵点Q在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线x 1. 设抛物线的解析式为y a(x 1)2 n，由题意，得

分

4a n 0

，解得

a n 3 a 1,

n 4.

∴抛物线的解析式为y (x 1)2 4.………………………………………………3分 （2）如图①，过点C作AC的垂线交抛物线于点D， 交x轴于点N，则 ACO ANC

OCOA

. ONOC

∵OA 1，OC 3，∴ON 9.

∴tan ANC tan ACO，∴∴点N的坐标为（9，0）

1

x 3. 图① 3

7 1 x 720 y x 33 由 ，解得，即点D的坐标为（，）.………5分 3 20932

y y (x 1) 4

9

可求得直线CN的解析式为y

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