第2章 谓词逻辑(杨圣洪版教材)

自己制作和使用的离散数学课件,教材采用湖南大学杨圣洪主编的《离散数学》教材。

离散数学授课教师：刘慧明第二章 谓词逻辑Email:huiming@http://www.77cn.com.cn

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第二章 谓词逻辑

引言命题演算的推理系统是一个完全的公理系统，其表现 力还不够强大，有些问题难以用命题演算进行表达。 如：著名的苏格拉底三段论：人总是要死的，因为苏 格拉底是人，所以苏格拉底总是要死的。 这一推理过程无法用命题演算表示。 若P:人总是要死的； Q :苏格拉底是人；R:苏格拉 底总是要死的。 则 上 面 的 话 用 命 题 公 式 应 该 表 示 为 P∧Q→R , 但 P∧Q→R不是永真式，而事实上这个结论总是对的。

命题演算的局限性 : 不能将原子命题进一步分解，无

法反映命题之间的内在联系。

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第二章 谓词逻辑P Q P和Q没有任何逻辑联系

再如：小陈是大学生 小林是大学生

两句话的共同特征: “是大学生” 主语+谓语 谓语P: “是大学生” 主语：某某人 P(小陈) ;P(小林) P(x): x是大学生 P称为谓词 小陈、x是客体 P(x)是命题函数

可认为谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题逻辑中的很多 概念、规则都可推广到谓词逻辑中延用

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第二章 谓词逻辑

本章内容 1、谓词逻辑的基本概念 2、谓词公式及其解释 3、谓词公式的等值演算 4、谓词公式的范式 5、谓词推理

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2.1 基本概念

1、客体与谓词

客体(个体):– 在句子中，可以独立存在的客观实体(一般为句子的主

语或宾语)。 – 客体常用小写字母表示，如:x,y,z,a1,a2,

谓词:– 刻划客体的性质或几个客体间关系的词项叫谓词。 – 谓词常用大写字母A,B, ,P,Q

, 表示。

如：3是素数 苹果是红的 “3”-客体 “苹果”-客体 Q:“是素数”-谓词 R:“是红的”-谓词

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2.1 基本概念

2、客体(个体)常元与客体(个体)变元

客体常元:–

表示具体和特定的客体。常用字母表中比较靠前的小 写字母a、b、c等表示。 如：“刘翔要喝水”、“姚明要喝水”,其中的“刘翔 ”、“姚明”是客体常量。可用a表示“刘翔”,c表示“姚

明”。

客体变元：–

表示抽象的或泛指的客体。常用字母表中比较靠后的 小写字母如x、y、z等表示 如：“某某要喝水”可表示为函数W(x), W表示谓词“要 喝水”,x表示“某某”,泛指所有的人。

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2.1 基本概念

3、n元谓词 一元谓词:谓词联系着一个客体。如： “苹果是红的”,R:“是红的”联系一个客体，是一元谓词；R(x)表示x是红的。

二元谓词:有两个客体与谓词相联系。如：

“3>2”, B:“ 大于 ”联系两个客体，是二元谓

词；B(x,y)表示x大于y。

n元谓词:n个客体与谓词相联系。如：

“李明坐在张华和张洪之间” —— 三个客体 “张华和张洪打败了李明和李良”——四个客体

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2.1 基本概念

4、命题函数 由一个谓词字母和 n 个客体变元组成的表达式 H(x1,x2, ,xn), 称为命题函数。 (有的书上直

接称之为n元谓词) 说明:当个体变元x没有赋予确切的客体时，H(x)没有确切的真 值，即并非命题。 谓词或命题函数转化为命题的方法:用特定的客体取代各 个客体变元,该过程称为命题函数的代入实例。

如：F(x): x是素数 ——不是命题a:3,F(a)——是命题，(取值为1)

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2.1 基本概念

5、量词

全称量词

为了表示“所有女人都喜欢漂亮衣服”等这类语句中的 “所有”,引入符号“ ”,称为全称量词。 “ ”表示所有、全部、任意。“All”首字母A的倒写。 当用x泛指“人”,“所有人”表示为“ x”, “所有活人都要喝水”表示为 xW(x) 当用x表示“女人”,y表示“漂亮衣服”时， “所有女人”则表示为 x、 “所有漂亮衣服”则表示为“ y”,因此 “所有女人都喜欢漂亮衣服”表示为 x yL(x,y),其中 L(x,y)表示“x喜欢y”。

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2.1 基本概念

5、量词

存在量词

为了表示“有些人考上了研究生”这类语句中“有些、 某些”等，引入符号“ ”,表示“存在、有些、有部分” 等的含义，称为存在量词。 “ ”是Exist的首字母，左旋180度， 如：若用谓词W表示“考上了研究生”,用z泛指“人” ,那么 “有些人”表示为“ z”, “有些人考上了研究生”表示为 zW(z)。 表示全部的符号“ ”,表示部分的符号“ ”统称为量词。

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2.1 基本概念

6、个体域: 个体变元的取值范围称为“个体域”,常用符号 D表示。如： {人}, {实数，虚数，动物}

在不同的客体域中，命题符号化的形式可能不一 样,真值也可能不同(详见后面例子。)当无特别声明时，将宇宙间的一切事物组成的客 体域称为“全总个体域”,常用大写字母U表示。

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2.1 基本概念

举例：利用量词、谓词将自然语言符号化 例2.1.1:(1)凡人都要呼吸 (2)有的人用左手写字 解：

当个体域为“人类”时：用B(x)表示x呼吸，则(1)表示为 xB(x); 用WL(x)表示x用左手写字，则(2)表示为 xWL(x)。

当个体域为全总个体域(宇宙万物组成):需要引入特性谓词，用H(x)表示个体x是人类，则(1)表示为 x(H(x) B(x)); (2)表示为 x(H(x) WL(x))。

个体域不同，谓词公式不同。

思考：(1)可否表示为 x(H(x) B(x))?

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2.1 基本概念

举例：利用量词、谓词将自然语言符号化 例2.1.2 (1)任意x,都有x2-2x+1=(x-1)2. (2)有x,使得x*5=3 解：

当x的取值范围即个体域为自然数N时：用E(x)表示x2-2x+1=(x-1)2 ,则(1)表示为 xE(x) (T) 用F(x)表示x*5=3,则(2)表示为 xF(x) (值为假)

当x的个体域为实数R时：用E(x)表示x2-2x+1=(x-1)2 ,则(1)表示为 xE(x) (T) 用F(x)表示x*5=3,则(2)表示为 xF(x) (值为真)

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