基于单片机的传感器曲线拟合

详见文档：

　　　　　　　　　　　　传感器技术(JournalofTransducerTechnology)　　　　　　　　　　　2004年第23卷第4期70

基于单片机的传感器曲线拟合

黄长征,王杏进

(韶关学院物理系,广东韶关512005)

摘　要:传感器使用前要进行标定,标定时要进行曲线拟合。若用微型计算机处理很简单,但实际中用单片机标定时,因它无矩阵运算,只能进行一般的代数运算,处理就显得非常不方便。推导了二次多项式曲线拟合待定系数的代数计算公式,应用这些公式来处理数据非常方便,实践证明,效果良好,可广泛用于基于单片机标定中的二次项式曲线拟合。关键词:曲线拟合;最小二乘法;传感器;标定;单片机

中图分类号:TP212　　　文献标识码:A:-(04-03

onsinglechipprocessor

HUANGChang2zheng,WANGXing2jing

(DeptofPhys,ShaoguanUniversity,Shaoguan512005,China)

Abstract:Itisnecessarytocalibratesensorbeforeitsapplications,andtomakecurvefittingincalibrating.Itisveryeasytoprocessdataintheprocessor,butdifficultinsinglechipprocessorinwhichthereisnotmatrixoperationsandonlyalgebraicoperationcanbedone.Thesealgebraicoperationequationsofquadraticpolynomialcurvefittingundeterminedcoefficientarededuced.Itisveryconvenienttoprocessdataintheseequations.Andtheirapplicationsareintroduced.Theresultofexperimentshowsthattheresultisbetter,andthattheseequationscanbewidelyappliedinquadraticpolynomialcurvefittingbasedonsinglechipprocessor.Keywords:curvefitting;leastsquaremethods;sensor;calibration;singlechipprocessor

0　引　言

在工程实践和科学实验中,经常利用曲线拟合来寻求实验数据与控制该实验物理规律的数学模型的相互关系。常见的曲线拟合有最小二乘法曲线拟合、指数函数曲线拟合、傅里叶级数曲线拟合和多项式曲线拟合等。多项式曲线拟合在实际中应用广泛,若用最小二乘法拟合,通常利用微机进行矩阵运算能快捷方便地予以处理,但在实践中,有时因有其它要求没有使用微机而是使用单片机,例如:在电容式微位移传感器中就是利用单片机进行测量标定,这时会因内存不够或无数组等原因而不能进行矩阵运算,而只能通过一般的代数运算予以处理,并且这时拟合的次数也不高。所以,就必须先求出拟合函数中的待定系数a0,a1,a2等的代数计算公式,然后,再进行数据处理。因此,本文推导出了用最小二乘法拟合应用较广的二次多项式曲线拟合的待定系数a0,a1,

a2的计算公式,并举出实例予以说明其应用[1]。

　　设有一组实测数据(xi,yi)i=1,2,…,n,其

拟合函数为

2

^y=a0+a1x+a2x,

实测值为y,则任意y与拟合值^y的偏差为Δ=y-^y=y-(a0+a1x+a2x2),

则偏差的均方值为

222ΔE[]=E[(y-a0-a1x-a2x)]

2242

=E[y2+a20-2ya0+xa1+xa2+

　2x3a1a2-2xya1-2x2ya2+2xa0a1+　2x2a0a2]

22=E[y2]+a20-2a0E[y]+a1E[x]+43　a22E[x]+2a1a2E[x]-2a1E[xy]-

　2a2E[x2y]+2a0a1E[x]+2a0a2E[x2].为使偏差均方值为最小值,则对上式分别对a0,a1,a2

求偏导并令为零,整理后得　　a0+E[x]a1+E[x2]a2=E[y]

E[x]a0+E[x]a1+E[x]a2=E[xy]E[x2]a0+E[x3]a1+E[x4]a2=E[x2

y]

2

3

,

1　公式推导

收稿日期:2003-11-21

详见文档：

第4期　　　　　　　　　　　　　　　　黄长征等:基于单片机的传感器曲线拟合　　　　　　　　　　　　　　　71

　　上式可写成

1

E[x]E[x]

2

b2b4-b3

E[x

]E[x]E[x432

2

b2b3-b1b4nb4-b2b1b2-nb3

2

b1b3-b2b1b2-nb3,nb2-b1

2

2

E[x]E[x

]E[x]

32

a0a1=aE[y]E[xy]E[xy2

B

,

3

=b2b3-b1b4

b1b3-b2

2

上式等价于

n

矩阵B的逆矩阵为

B

-1

Σxi

i=1n

n

Σxi

i=1

n

n

2

a0a1aΣyi

i=1n

n

=,所以|B|

3

Σxi

i=

1n

n

2

(b2b4-b23)c1+(b2b3-b1b4)c2+(b1b3-b2)c3

Σxi

i=1n

i=1

2

Σxi

i=1ni=1

3

xiyi=Σi=1

,

A=

(2

b2b3-b1b4)c1+(nb4-b2)c2+(b1b2-nb3)c3,

k

2

(b13-b22)c1+(b1b2nb3(nb2-b1)c3

Σx2i

i=1

Σx3iΣx4iΣx2iy

i=1

n

令

b1=Σxi

i=1nn

b4=xi

in

b2=i

i=n

n

2

3xi

=n

n

4

2

-3c1+(b2b3-b1b4)c2+

(b1b3-b22)c3],a1=

c1=Σyi

i=1

xii

=1

c3=Σxiyi

i=1

,　　(1)则

nb1b2

b1b2b3nB=

b1b2

b2b3bb1b2b3

a0a1=ab2b3b;A=

c1c2,ca0a1a;C=

c1c2c,

a2=

k

(b1b2-nb3)c3)],

2

[(b2b3-b1b4)c1+(nb4-b2)c2+

(3)

k

2

[(b1b3-b2)c1+(b1b2-nb3)c2+

(nb2-b21)c3].

再令

这样,求a0,a1,a2和^y的运算式均为代数计算,即可用单片机对实验数据进行拟合。2　应用实例

一电容式微位移传感器测量系统是用单片机来处理数据。单片机的输入量x是传感器的电压信号;输出量y是位移量,送入液晶显示器显示。为建立x和y之间的数学关系,就必须对系统进行标定。通过理论推导,可用该方法进行曲线拟合标

即

BA=C,

则

A=B

-1

C,

nb23

|B|=nb2b4+2b1b2b3--

b21b4

-

b32Χk.(2)

定[2]。这里记录了部分数据,如表1所示。

矩阵B的伴随矩阵为

表1　实验标定数据

Tab1　Experimentalcalibationdata

参　数

xi(V)

数　　　　　　值

03.00

0.23.43

0.43.96

0.64.57

0.85.24

1.06.08

1.26.82

1.47.78

1.68.79

1.8

2.0

μm)yi(

9.8311.00

　　利用式(1)、式(2)得到的处理数据如表2。

表2　处理数据

Tab2　Processingdata

参数数值

nb1b2b3b4c1c2c3k

11.00011.00015.40024.20040.53370.50088.118135.27166.444

　　再由式(3)即得待定系数

a0=2.988;a1=2.060;

a2=0.972。

其相应的拟合方程为

^y=2.988+2.360x+0.972x,

2

(4)

详见文档：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　传　感　器　技　术　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第23卷72

由此可得到的处理数据如表3。

表3　处理数据

Tab3　Processingdata

参　数

xi(V)

数　　　　　　值

03.002.990.010.33

0.23.433.440.010.29

0.43.963.970.010.25

0.64.574.5700

0.85.245.260.020.38

1.06.086.020.060.99

1.26.826.860.040.59

1.47.787.7800

1.68.798.770.020.23

1.89.839.850.020.2.011.0011.0000