1-6-极限存在准则,两个重要极限

深圳大学高数 吴向平

第六节 极限存在准则、 两个重要极限( x用弧度表示)

第一章

用来求正弦函数的导数1 x 2. lim (1 ) x x

用来求对数函数的导数

深圳大学高数 吴向平

一、极限存在准则1.夹逼准则(两边夹法则)定理：如果 ( x ) f ( x ) h( x ) , g且 lim g( x ) lim h( x ) A或 x

x x0

或 x

x x0

则 lim f ( x ) A或 x

y f ( x)

x x0

深圳大学高数 吴向平

2.单调有界数列必有极限

定理: 单调增加有上界(或单调减小有下界) 的数列一定有极限。几何解释:x1 x2 x3x n x n 1A M

x

深圳大学高数 吴向平

二、两个重要极限(1)

sin x 0 lim ( 型) x 0 0 x

y

sin x x

列表：

x0.1 0.01 0.001 0.00010

sinx x

0.998334 0.999983 0.999999 0.999999?1

深圳大学高数 吴向平

C

sin x 证明： lim 1 x 0 xsin x sin x 是偶函数，只需考虑lim . x 0 x x

Box

D

A

△OAB 的面积 <圆扇形OAB的面积 <△OAC的面积 1 sin x 1 1 即 2 tan x 2 sin x 2 cos x sin x cos x 1 sin x x x由两边夹法则，

深圳大学高数 吴向平

sint 解： l im 1. t 0 t 1 ( 2) 当x 时, 为无穷小, x sin x 0. 而 sin x是有界函数， lim x x

令kx t

sin x 注意： 只有在 x 0时才趋于 ! 1 xsin(1 x )令1 x t sin t lim lim 0. x 0 t 1 x t

深圳大学高数 吴向平

例2. 求sin x 1 tan x sin x lim lim 解: lim lim x 0 x 0 cos x x x x 0 x x 0 cos x

1.例3. 求 解: 令 arcsin x t , 则 x sin t . 当 x 0,t 0. t 原式 lim 1. t 0 sin t

深圳大学高数 吴向平

1 cos x 例4. 求 lim . 2 x 0 xx 2 x sin 2 sin 2 2 1 lim 解：原式 lim x 0 2 x 0 x 2 x2 ( ) 2 x x sin sin 1 1 2 ) 2 (lim 2 )2 lim( 2 x 0 x 2 x 0 x 2 22

1 2 1 1 . 2 2

深圳大学高数 吴向平

1 x lim (1 ) ( 1 型) (2) x x 1 n 1 n 先考虑 lim (1 ) [lim (1 )] 1n 1 n n n n ( n不是常数, 不能用幂的极限等于极 限的幂！)

列表：

n10 100 1000 10000

1 n (1 ) n

2.593742 2.704814 2.716924 2.718146?

由列表观察出数列 是单调递增并且有 上界.

∞

深圳大学高数 吴向平

1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1) ( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n1 1 1 1 2 n 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ). 2! n n! n n n类似地,

1 1 xn 1 1 1 (1 ) 2! n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 ) (1 ) n! n 1 n 2 n 1 1 1 2 n (1 )(1 ) (1 ). ( n 1)! n 1 n 2 n 1

显然 xn xn 1 , xn 是单调递增的 ;

深圳大学高数 吴向平

1 1 1 1 2 n 1 xn 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ). 2! n n! n n n 1 1 1 1 2! n! 1 1 1 1 1 n 1 3 n 1 3, xn 有上界。 2 2 2

因为单调递增有上界的数列必有极限， lim x n 存在.n

1 n 记为 li

m (1 ) e n n

(e 2.71828 见第三章第三节泰勒公 式)

深圳大学高数 吴向平

1 x 推广： (1 ) e . lim x x设 n x n 1, 1 n 1 x 1 n 1 则 (1 ) (1 ) (1 ) , n 1 x n 1 n 1 1 n 1 而 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) n n n n n n1 n l im(1 ) lim (1 1 ) n 1 n n 1 n n 1

e,

1 lim (1 ) e, n n 1

1 x 由两边夹法则， lim (1 ) e . x x

深圳大学高数 吴向平

令 t x,1 x 1 t 1 t lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) x t t x t t 1 1 t 1 1 lim (1 ) (1 ) e. t t 1 t 1

1 x lim (1 ) e x x1 令t , xx 0

得 lim (1 t ) et 0

1 t

lim(1 x ) e

1 x

思考：lim (1 x ) ?x

1 x

深圳大学高数 吴向平

1 x 例1 求 lim(1 ) . x x1 1 1 x 1 lim . 解: 原式 lim 1 [( ) ] x 1 x x e x (1 ) x

3 x 2x 例2 求 lim( ) . x 2 x1 ( x 2 ) 2 4 解: 原式 lim(1 ) x x 2 1 x 2 2 1 4 lim 1 [( ) ] (1 ) x x 2 x 2 e2 1 e2 .

深圳大学高数 吴向平

要点:两边夹法则；

第六节 极限存在准则、 两个重要极限

单调有界数列必有极限； 两个重要极限： 为什么重要？1 x 2. lim (1 ) x x 1 或 lim (1 x ) x e.x 0

sin x 注意 只有在x 0时才趋于 . 1 x 1 x 1 x x 注意 lim (1 ) [lim (1 )] 1 1. x x x x

深圳大学高数 吴向平

应用: 通过换元化为

或 注: 代表相同的表达式