高中数学必修四第一章测评A-试题与答案

第一章测评A

一、选择题

1.sin (-31π6)的值等于( )

A .-√32

B .-12

C .12

D .√32 解析:sin (-

31π6)=-sin 31π6=-sin (4π+7π6)=-sin (π+π6)=sin π6=12. 答案:C 2.已知角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=( ) A .45 B .-45 C .35

D .-35 解析:由三角函数定义可得cos θ=45,∴cos(π-θ)=-cos θ=-45.

答案:B

3.设α为第二象限角,则tan α·√1sin 2α

-1=( ) A .1 B .tan 2α

C .-tan 2α

D .-1 解析:原式=sinαcosα·√cos 2αsin 2α=sinα|cosα|cosα|sinα|,

又∵α是第二象限角,

∴sin α>0,cos α<0,

∴原式=

sinα·(-cosα)cosα·sinα=-1.

答案:D

4.函数y=1-sin x ,x ∈[0,2π]的大致图象是( )

解析:特殊值法.取x=0,得y=1,排除C 、D;取x=π2,y=1-sin π2=0,排除A,故选B . 答案:B

5.下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=π12对称的是( ) A .y=sin (x 2

+π3) B .y=sin (x 2-π3) C .y=sin (2x -π3) D .y=sin (2x +π3)

解析:因为函数的周期是π,所以T=2πω=π,解得ω=2,排除A,B .当x=π12时,y=sin (2×π12+

π3

)=sin π2=1为最大值,所以y=sin (2x +π3)的图象关于直线x=π12对称,选D . 答案:D

6.把函数y=sin x 的图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数解析式是( )

A .y=sin (2x +

π6) B .y=sin (x 2+π6) C .y=sin (2x -π6) D .y=sin (2x -π3)

解析:函数y=sin x 的图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度,得到y=sin (x +π6)的图象,再

把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,得到y=sin (2x +π6)的图象.

答案:A

7.函数y=sin (2x +π6)的一个单调递减区间为( )

A .(π6,2π3

) B.(-π3,π6) C.(-π2,π2) D.(π2,3π2)

解析:令π2+2k π≤2x+π6≤

3π2+2k π(k ∈Z ),整理得π6+k π≤x ≤2π3+k π,所以仅有(π6,2π3)是单调递减区间. 答案:A 8.函数f (x )=3sin (2x +π3)在区间[0,π2]上的最小值及取最小值的x 值依次为( ) A .-3,5π12

B .0,-π6

C .-3√32,π2

D .-32,-π4 解析:∵0≤x ≤π2,∴π3≤2x+π3≤4π3,∴当2x+π3=4π3,即x=π2时,f (x )取最小值为3sin 4π3=-3√32.

答案:C

9.圆弧长度等于其内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) A .√33 B .√3 C .√32 D .√35 解析:设圆半径为r ,则求得内接正三角形边长为√3r ,∴圆心角弧度数为|α|=√3r r =√3. 答案:B

10.设函数f (x )=sin (2x +π3),则下列结论正确的是( )

A .f (x )的图象关于直线

x=π3对称 B .f (x )的图象关于点(π4,0)对称

C .把f (x )的图象向左平移π12个单位,得到一个偶函数的图象

D .f (x )的最小正周期为π,且在[0,π6]上为增函数

解析:当x=π3时,2x+π3=π,不合题意,A 不正确;

当x=π4时,2x+π3=5π6,B 不正确;

f (x )的图象向左平移π12个单位,得到函数

y=sin [2(x +π12)+π3]

=sin (2x +π2)=cos2x 的图象,是偶函数的图象,C 正确;

当x=π12时,f (π12)=sin π2=1,

当x=π6时,f (π6

)=sin 2π3=√32<1, 在[0,π6]上f (x )不是增函数,D 不正确.

答案:C

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上) 11.2015°角是第 象限角.

解析:2015°=5×360°+215°,∵215°角是第三象限角,

∴2015°角是第三象限角.

答案:三

12.函数y=cos (3π2-2x )cos (3π-2x )最小正周期是 .

解析:y=cos (3π2-2x )cos (3π-2x )=-sin2x -cos2x =tan2x ,

∴周期T=π.答案:π

13.设函数y=sin(π

2x+π

3

),若对任意x∈R,存在x1,x2使f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值

是.

解析:由已知得f(x1)为函数f(x)的最小值,f(x2)为函数f(x)的最大值,∴|x1-x2|的最小值为相邻的最大值点与最小值点之间的横坐标差的绝对值,即半个周期的长度.又T=2ππ

2

=4.∴|x1-x2|min=2.

答案:2

14.设ω是正实数,函数f(x)=2cosωx在x∈[0,2π

3

]上是减函数,那么ω的取值范围是.

解析:因为函数在[0,T

4]上递减,所以要使函数f(x)=2cosωx(ω>0)在区间[0,2π

3

]上单调递减,则有

2π3≤T

4

,即T≥8π

3

,所以T=2π

ω

≥8π

3

,解得ω≤3

4

,∴ω的取值范围是(-∞,3

4

].

答案:(-∞,3

4

]

15.设f(x)=2sinωx(0<ω<1)在闭区间[0,π

3

]上的最大值为√2,则ω的值为.

解析:∵0<ω<1,∴T=2π

ω

,

∴T

4

=π

2ω

>π

2

.

∴f(x)=2sinωx在[0,π

3

]上为增函数.

∴f(x)max=f(π

3

)=2sinπ

3

ω=√2.

∴sinπ

3

ω=√2

2

,即π

3

ω=π

4

,

∴ω=3

4

.

答案:3

4

三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题6分)化简:

sin(π

2

+α)cos(π

2

-α)

cos(π+α)

+sin(π-α)cos(

π

2

+α)

sin(π+α)

.

解:sin(π

2

+α)=cosα,cos(π

2

-α)=sinα,

cos(π+α)=-cosα,sin(π-α)=sinα,

cos (π2+α)=-sin α,sin(π+α)=-sin α.

∴原式=cosα·sinα

-cosα+sinα·(-sinα)-sinα

=-sin α+sin α=0.

17.(本小题6分)已知sin θ=45,π2<θ<π, (1)求tan θ;

(2)求sin 2θ+2sinθcosθ

3sin 2θ+cos 2θ的值.

解:(1)∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴cos 2θ=1-sin 2θ=925.

又π2<θ<π,∴cos θ=-35.

∴tan θ=sinθcosθ=-43.

(2)sin 2θ+2sinθcosθ

3sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tanθ

3tan 2θ+1=-857.

18.(本小题6分)函数f 1(x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象过点(0,1),如下图所

示.

(1)求函数f 1(x )的解析式;

(2)将函数y=f 1(x )的图象向右平移π4个单位,得到函数y=f 2(x )的图象,求y=f 2(x )的最大值,并求出此时自变量x 的取值.

解:(1)由题图知,T=π,于是ω=2πT =2.

将y=A sin2x 的图象向左平移π12,

得y=A sin(2x+φ)的图象,于是φ=2×π12=π6. 将(0,1)代入y=A sin (2x +π6),得A=2.

故f 1(x )=2sin (2x +π6).

(2)依题意知,f 2(x )=2sin [2·(x -π4)+π6]=-2cos (2x +π6),

当2x+π6=2k π+π(k ∈Z ), 即x=k π+5π12(k ∈Z )时,y max =2.

此时x 的取值为{x |x =kπ+5π12,k ∈Z}.

19.( …… 此处隐藏：2635字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……