2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研导师圈点必考题

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2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研导师圈点必考题汇编（一） (2)

2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研导师圈点必考题汇编（二） (10)

2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研导师圈点必考题汇编（三） (17)

2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研导师圈点必考题汇编（四） (28)

2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研导师圈点必考题汇编（五） (36)

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2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研导师圈点必考题汇编（一）

说明：①本资料为VIP 学员内部使用，整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

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一、证明题

1． 设正项级数

收敛，和为.令

求证：当

时，

【答案】把区

间

用分

点分成无限个小区间.

在

上，

由

及函数

的单调递减性，得

这意味着级数的部分和有界，从而此级数收敛，且

2． 设

是凸域，

且满足

证明：f (x )的海色矩阵是半正定的.

【答案】为任一向量，当t 充分小时，点，

由泰勒公式得：

根据条件

故有

上式消去并令即得

这表明矩阵是半正定的.由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.

3． 设

并且对于任何

有

常数，证明

【答案】设

则有

对上式两边同时求导，得

即

于是对两边取转置又得

4． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性：

若函数作在点

连续，而且

则函数在点的某一邻域

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内

与同号，并存在某个正

数

使得对任

意

【答案】设则存在r ,使取因为

在点

处连

续，所以存在

使得当

时，有

从而当时

当

住取

由上可知存在使

得在其上

即可见/在上与同号且

5． 设

求证

在区间上一致连续. 【答案】当时

在

上显然一致连续.

当时，结果显然成立.

当时，利用一个显然成立的不等式：

即

可导出

有

因此

设令则

取于是当

时，有

因此

在上一致连续.

6． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程.有n+1个相异的实根，则方程

至少有一个实根.

【答案】设方程.的n+1个相异的实根为并且

对f (x )在

区间

上应用罗尔中值定理知，

存在

使得

.

即至少有n 个相异实根.再对

在n-1个区间

上应用罗尔中值定

理知，存在使得

即.

至少有n-1个相异实根.如此继续下去可得至少有n-2个相异实根

至少有一个实根.

二、解答题

7． 求下列不定积分：

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【答案】