2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题(含答案)

全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷

一、选择题

⑴若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足a2

012

c

a

2012

d

2012

2012，

2012

b

2012

c2012 b2012 d2012 2012，则 ab

2012

cd

2012

的值为（）

A 2012 B 2011 C 2012 D 2011

⑵一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）

1315 B C D 4288⑶如图，矩形纸片ABCD中，AB 3，AD 9，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF，则EF的长为（）

A

（A

B

）（C

D

）

2

⑷在正就变形ABCDEFGHI中，若对角线AE 2,则AB AC的值等于（） （A

B）2（C）

35（D） 22

⑸有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至

多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n的最小值等于 （ ）

(A) 171 (B) 172 (C) 180 (D) 181 二、填空题

1

2，则x2 2的值为

x⑺若四条直线x 1,y 1,y 3,y kx 3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为

__________.

⑻如图，半径为r的 O沿折线ABCDE作无滑动的滚动，如果AB BC CD DE 2 r，

ABC CDE 150 , BCD 120 ，那么， O自点A至点E转动了__________周.

(9)如图，已知△ABC中，D为BC中点，E,F为AB边三等分点，AD分别交CE,CF于点M,N，则AM:MN:ND等于

_______.

(10)若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则

三、解答题

⑾已知抛物线y=x2+mx+n经过点(2,-1)，且与x轴交于两点A(a,0) B(b,0)，若点P为该抛物线的顶点，求使△PAB面积最小时抛物线的解析式。

⑿如图，分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交 C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，求AM的长。

MA MC

的最小值为______.

MB MD

⒀已知p与5p2-2同为质数，求p的值。 ⒁已知关于x的不等式组

x<a+1

的解集中的整数恰好有2个，求实数a的取值范围。 2x-2>a

答案及详解

1、 答案：A。可将a2012与b2012看做方程(x c2012)(x d2012) 2012的两个解，则

ab 2012 cd 2012化为x1x2 cd 2012，因为x1x2 c2012d2012 2012，所以原式 2012

2、 答案：D。可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足

条件，概率为 1；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2,3,4号球可满足要求，概率为 ；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3,4号球可满足要求，概率为 ；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为 ；加和得到最后概率为

3、 答案：C。因为BE ED,AD 9，所以BE AE 9，根据勾股定理得到

1

4

13441244

1144

58

AE2 AB2 BE2，得到AE 4,BE 5，易得BF BE，过点E作EG BF于G，GF 5 4

1，EF4、 答案：B。如图，设O为正九边形ABCDEFGHI的中心，连结OE、OA，则 AOE 160 ，

OEA 10 ，又易得 OED 70 ， DEA 60 ，在AE上截取EP ED连结

180 80

50 ， CPA 70 ，又DP、PC， PDC 140 60 80， DPC

2

CAP BAP BAC 40 CAP 70 ，，，又 AC AP A B D AE A

5、 答案：B。对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。报一项比赛的方

2

1 5种，每个人报名方式有9种，要求有20人相式有4种，报两项比赛的方式有C4

同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为

n 19 9 1 172 6、

答案：

2

21112

2 4，展开后x 2 4，x 6， x 2

8

xxx1 1 2

x x

即，， 8 2

x x

7、 答案：1或 2。无论k为正或负，围成的图形均为直角梯形或直角三角形，面积都等

于中位线乘以高，高为4，则中位线为3。中位线一定在y 1这条直线上，则可得到中

点坐标为 4,1 或 2,1 ，则代入y kx 3得到k 1或 2

8、 答案：4。AB、BC、CD、DE的长度刚好为圆的一个周长，4段线段长度和为4倍

周长，也就是圆转了4周，但经过点B从AB到BC时，从与AB相切到与BC相切转动了一个 ABC补角的度数，同理C、D两点都要转一个补角度数，总共转了120 ，即周长

13

13

QE//BC，9、 答案：如图，作PD//BF，5:3:2。PD:BF 1:2， DN:NA PD:AF 1:4，

11

ND AD，AQ:QD QE:BD AE:AB 1:3， AQ AD，

5311211

QM QD AD AD， AM AQ QM AD, AM:MN:ND

5:3:2

44362

10、

。如图，通过勾股定理易得MA2 MC2 MB2 MD2，AC2 MA2 MC2 2MA MC cos AMC，BD2 MB2 MD2 2MB MD cos BMD，

MA MCcos BMD

， AC BD MA MC cos AMC MB MD cos BMD，

MB

MDcos AMC

MA MC MA2 MC2 MB2 MD2，所以当MB MDcos BMD

最小时，这个值最小，所以当 BMD 90 , AMC 0 时最小，即点M与

cos AMC点A、C重合时

11、

因为y x2 mx n经过 2, 1 ，代入得，n 2m

5，|AB|P

点纵坐标为 m2 2m 5，

S△PAB1

4m 4时S△PAB最小，解

析式为y x2 4x 3 12、

如图，过点E作EP AB，连结EA易得△EAC为正三角形，所以EC//AB，、EC，

又 CG AB, EC

CG EM EG

EAP 60 ， EP1

，AP

，

2PM

， AM PM AP

13、

5p2 2 5 p 1 p 1 3，①当p 1 3n n 1 ，即p 3n 1时，

3|5 p 1 p 1 3，即5p2 2为合数，不符合题意；②当p 1 3n n 1 ，即

p 3n 1时，3|5 p 1 p 1 3，即5p2 2为合数，不符合题意；③当p 3n n 2

时，p为合数，不符合题意；此时p只能取3，当p 3时，5p2 2 43为合数符合题意，所以p 3 14、