主应力的计算公式

第36卷第6期力学与实践2014年12月

主应力的计算公式

王凯1)

(东南大学交通学院，南京210096)

摘要关键词

在前人工作的基础上，运用一元三次方程的理论直接求解应力状态的特征方程，得到了实用的主应主应力，计算公式，求解一元三次方程

文献标识码：A

doi：10.6052/1000-0879-13-502

力计算公式.

中图分类号：O343

CALCULATIONFORMULASFORPRINCIPALSTRESSES

WANGKai1)

(SchoolofTransportation,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)

AbstractForteachingpurposes,practicalcalculationformulasforprincipalstressesareproposed,whichareobtainedbydirectlysolvingthecharacteristicequationofthestressstatewiththetheoryofone-variablecubicequation.

Keywordsprincipalstress,calculationformula,solvingofone-variablecubicequation

经典的弹性力学教材或专著中，均未列出主应

力的计算公式.在参考文献[1]和[2]中，仅结合算例给出主应力的数值解，而没有给出主应力的计算公式.参考文献[3]在应力偏张量主值三角函数解的基础上，推导了主应力的计算公式，但存在两个不足之处，一是主应力计算仍需借助于计算应力偏张量的不变量来实现，不如一步到位直接利用应力张量的不变量计算来得直观和方便；二是由于推导过程过于简化，所采用的推导理论和中间算式因其来龙去脉交待不够清楚而让读者阅读和理解困难.

本文在参考文献[4]的基础上，运用一元三次方程的理论系统详尽地直接求解应力状态的特征方程，得到了实用的主应力计算公式，该公式已在多层弹性体系的力学计算中得到了成功的应用.

在弹性力学中求解主应力的一元三次应力状态特征方程如式(1)所示，它的3个实根σ1,σ2,σ3即为所求的3个主应力.

σ3 I1σ2+I2σ I3=0

(1)

I1=σx+σy+σz

222

I2=σxσy+σyσz+σzσx τxy τyz τzx

222

σzτxy σyτzxI3=σxσyσz+2τxyτyzτzx σxτyz

令σ=y+I1/3,代入式(1)得

y3+py+q=0

23

3I2 I19I1I2 2I1 27I3

式中p=,q=.

327

p

再令y=z ，代入式(2)得

3z

(2)

p3

=0(z)+qz 27

32

3

(3)

这是z3的一元二次方程，它的解是

q√q√33

z= +R,z= R

22

p3q2

式中R=+.令

274

q√ 1/3A= +2

q√ 1/3

p

B= = 3A2

(4)

(5)

式中

本文于2013–12–16收到.

1)王凯,教授，研究方向为路基路面工程中的弹性力学问题.E-mail:wangkaiwjk@http://www.77cn.com.cn

784力学与代入式(4)中第1式，可得

z3

A3

=(z A)(z2

+zA+A2

)=0

√又令ω= 1+i

，则ω2= 1 √

i,1=ω21

22ω

,

ω=ω.由此可得z的3个根为z1=A

z 1+√i

2=

2A=ωAz 1 √i3=2

A=ω2A

将z代入y=z p

1,z2,z3并利用式(5)到相应y的3个根为

3z

，即可得

yp 1=A 3A=A+B yp 2=ωA 3ωA=ωA+ω2

B (6)

y3=ω2A

p 3ωA

=ω2A+ωB 如将A,B代入式(4)中第2式，会得到相同的求解结果(仅y的排列次序不完全相同)，故不再赘述.

式(6)就是求解一元三次方程的卡丹(Cardan)公式，在此基础上加上I1/3，即可得到σ1,σ2和σ3的表达式.

三次方程y3+py+q=0的判别式为R=p3q2

27+4

，当R>0时y一根为实根两根为虚根，当R 0时y为三实根，因此求解式(1)仅考虑R 0的情况 .当R=0时由式(5)可得

A=B= q 1/3

，代入式(6)可得y为

2

的3个根

q y1/3

1= 2 2

q 1/3 q (7)y1/3 2=y3= (ω+ω2) 2=

2 当R<A3= q0时,可以看出p<0，由式(5)可得

2+√i=a+bi，B3= q2

√

i=a bi

为共轭复数.

又设A=(a+bi)1/3=m+ni，B=(a bi)1/3=m ni.代入式(6)，可得

y1=A+B=2m y=ωA+ωB= m n√ 22(8)y√ 3=ω2

A+ωB= m+n

实践2014年第36卷

引入复数的三角表示式，可得到

3

A=a+bi=r(cosθ+isinθ)

(9)

B3

=a bi=r(cosθ isinθ)

式中

2

r=(a2

+b2)1/2

=qq2p3 1/2 p3 1/2

4 4 27=

27

cosθ=a

q q p3 1/2r=

2r=2 27

再引人复数开方运算公式

A=(a+bi)1/3

=m+ni=

r1/3cosθ+2kπθ+2kπ 3+isin3

B=(a bi)1/3

=m ni=

(10)

r1/3cosθ+2kπθ+2kπ 3 isin 3 (k=0,1,2)

将式(10)代入式(8)三式中任何一式，都可得到y的3个根y1,y2,y3(表达式完全一致，仅排列次序不完全相同)，现以代入第1式为例，即可得到

y=A+B=2r1/3cos

θ+2kπ3

(k=0,1,2)(11)

即

y1/3cosθ =2 p 1/2

cosθ

1=2r 333

yθ+2π 2=2r1/3cos 3= p 1/2 θ√θ

3cos3+sin

3 (12)

yr1/3cosθ+4π 3=2= 3 p 1/2 θ√ 3cos3 sinθ 3

再将式(7)和式(12)分别代入σ=y+I1/3，最

后得到3个主应力σ1,σ2和σ3的计算公式(按σ1 σ2 σ3排列)为

当R=p3q2

27+4

=0时

若q=0,则

σ1=σ2=σ3=I1/3

(13)

若q<0,则

第6期王凯：主应力的计算公式785

q 1/3 q 1/3

σ1=I1/3 2,σ2=σ3=I1/3+(14)

22

若q>0,则

q 1/3 q 1/3

,σ3=I1/3 2(15)σ1=σ2=I1/3+22

p3q2

当R=+<0时

274

I1θσ1=+2 cos

333

θ√θ I1

cos sinσ2=3333

I1θ√θ σ3= cos+sin

3333

式中

q p3 θ=arccos

227

1

2

3I2 I1p=

3

3

9I1I2 2I1 27I3q=

27

(0 θ π)

(16)

证明如下：

p3q2

由上文可知R=+ 0，故p 0.

274

当p=0时，代入式(17)，式(17)即变成

式(13).

以上诸式中

θ=arccos

q 2

1

p3

(0<θ<π)

q p3 1/2

当p<0且 =1时，θ=0,

227 q 1/3 p 1/2

= ，q<0，代入式(17)，式(17) 23q p3 1/2

= 1时，θ=π, 当p<0且

227 q 1/3 p 1/2

= ，q>0，代入式(17)，式(17)即23

27

即变成式(14).

2

3I2 I1p=

3

3

9I1I2 2I1 27I3q=

27

变成式(15).

q p3 1/2

当p<0且 1< <1时,

2270<θ<π，式(17)与式(16)等价.

最后两点说明：

(1)本文未采用中外文献中普遍介绍的利用三

角函数公式间接比拟求解y的3个根的方法，而是

采用参考文献(4)中利用复数运算公式直接求解y的3个根的方法，后一 …… 此处隐藏：2459字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……