1.3.2函数的奇偶性教案

1.3.2函数的奇偶性

一．教学目标

1．知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2．过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想． 3．情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．

二．教学重点和难点：

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式

三．学法教学

学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．

四．教学过程

【问题情境】

观察以下图形，你能从中发现什么特点？

【意义建构】

观察下图，思考并讨论以下问题：

(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？

(2)相应的两个函数值对应是如何体现这些特征的？

x∣

图（1）

图（2）

f(-1)=1=f(1) f(-2)=4=f(2)

f(-3)=9=f(3)

思考: 通过练习,你发现了什么规律?

f(-1)=1=f(1) f(-2)=2=f(2) f(-3)=3=f(3)

图象：关于y轴对称 解析式：f( x) f(x) 【数学理论】偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)

就叫做偶函数．

偶函数的特征:

1.解析式的基本特征：f (-x)=f (x) 2.图像特征:关于y轴对称 （定义域关于原点对称） 【强化理论】函数f(x) x2 1,g(x)

2

2

2x 11

2

都是偶函数吗？

所以f(x) x2 1是偶函数。

2x 11

2

f( x) ( x) 1 x 1 f(x),

g( x)

2( x) 11

2

2x 11

2

g(x),所以g(x) 是偶函数

。

+1

2

2x 11

2

偶函数的图像关y轴对称，图像关于y轴对称的函数的偶函数

【问题情境】观察图形，你能从中发现什么特点？

【意义建构】观察下图，思考并讨论以下问题：

(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？

(2) 相应的两个函数值对应是如何体现这些特征的？

图（1）

图（2）

f(-1)=-1=-f(1) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) f(-2)=-1/2=-f(2)

f(-3)=-3=-f(3) f(-3)=-1/3=-f(3)

思考 : 通过练习,你发现了什么规律?

图象：关于原点对称 解析式：f (-x)=-f (x)

【数学理论】奇函数(仿照偶函数的定义给出奇函数的定义)

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)， 那么f(x)就叫做奇函数． 奇函数的特征:

1.解析式的基本特征：f (-x)=-f (x)

2.奇函数的图像关于原点对称（定义域关于原点对称） 【理论说明】☆对奇函数、偶函数定义的说明:

(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 (2)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x)成立。 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。

(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有

奇偶性。

【数学应用】例题讲解

例：判断下列函数的奇偶性

(1)f(x) x4 (2)f(x) x5 (3)f(x) x 解：（1）定义域（-∞，+∞）关于原点对称

∵f( x) ( x)4 x4 f(x) ∴f(x)是偶函数

1x

(4)f(x)

1x

2

（2）定义域（-∞，+∞）关于原点对称

∵f( x) ( x)5 x5 f(x) ∴f(x)是奇函数

（3）定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称

∵f( x) ( x)

1 x

(x

1x

) f(x)

∴f(x)是奇函数

（4）定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称

∵f( x)

1( x)

2

1x

2

f(x)

∴f(x)是偶函数

练一练：

1.说出下列函数的奇偶性:

①f(x)=x

4

偶函数_ ④ f(x)= x

-1

奇函数

② f(x)=x 奇函数 ⑤f(x)=x ③ f(x)=x

5

-2

偶函数

奇函数 ⑥f(x)=x -3 奇函数

n

说明：对于形如 f(x)=x 的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。

【归 纳】

根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是： 第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；

第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断f (－x)＝－f (x). 例：已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.

练一练：

已知函数f(x)

x ax a

2

(-1≤x≤1)为奇函数，求a的值。

课本：P36第一题

说明：若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0 作业：

1. 判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x) （3）f(x)

x 1

x

（2）f(x) x 2 x 2 （4）f(x) x2

2

x 1

9 3x x 9

9 x

2

2.已知f(x)是_______函数，当x≥0时，f(x) =-x2+x,则当x＜0时，f(x)的解析式是（ ）

2222

A. f(x) =-x-x B. f(x) =x+x C. f(x) =x-x D. f(x) =-x+x 上面的题目出现在小明的一张练习卷上，f(x) 是什么函数呢？请你给小明出个主意使得问题可以求解（有且只有一个正确答案） 思考：

1.已知y=f(x)是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f(x) ＜0，则 在（-∞ ，0）上是（ ）

A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.单调性不确定 2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:

(1).F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x) 3.具备下列条件之一的函数f(x)的奇偶性如何?

(1) f(x)+f(- x) =0 (2) f(x)-f(- x) =0 【本课小结】

1.两个定义: 对于f(x)

x ,

如果都有

为奇函数。

如果都有为偶函数。 2.两个性质:

一个函数为奇函数它的图象关于原点对称。

一个函数为偶函数它的图象关于y 轴对称。