【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4检测：第2章2.5向量的

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数学学习资料 第2章 平面向量

2.5 向量的应用

A 级 基础巩固

1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3，2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )

A ．(－1，－2)

B ．(1，－2)

C ．(－1，2)

D ．(1，2)

解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F 4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．

答案：D

2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边

形为( )

A ．平行四边形

B ．矩形

C ．等腰梯形

D ．菱形

解析：由题意可知，AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，

所以四边形ABCD 为菱形．

答案：D

3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛顿，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为

( )

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A ．100焦耳

B ．50焦耳

C ．503焦耳

D ．200焦耳

解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米．

W F ＝F·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12

＝50(焦耳)． 答案：B

4．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．形状无法确定

解析：因为(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，

所以CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→.

所以CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．

答案：C

5．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OA →＋OC →)＝0，则O 为△ABC 的

( )

A ．内心

B ．外心

C ．重心

D ．垂心

解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝

0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.

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数学学习资料 同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.

所以O 为△ABC 的外心．

答案：B

6．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.

解析：如图所示，船速|v 1|＝5(km/h)，

水速为v 2，实际速度|v |＝10(km/h)，

所以|v 2|＝100－25＝75＝53(km/h)．

答案：53

7．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三

角形的形状是__________________．

解析：因为AB →·AC →＝4×4×cos A ＝8，

所以cos A ＝12.所以∠A ＝π3

. 所以△ABC 是正三角形．

答案：正三角形

8．过点A (2 015，2 016)且垂直于向量a ＝(－1，1)的直线方程为______________．

解析：在直线上任取一点P (x ，y )，则

AP →＝(x －2 015，y －2 016)，依题意AP →·a ＝0，

所以－(x －2 015)＋y －2 016＝0，即x －y ＋1＝0.

答案：x －y ＋1＝0

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数学学习资料 9．两个粒子a ，b 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4，3)，v b ＝(2，10)．

(1)写出此时粒子b 相对粒子a 的位移v ；

(2)计算v 在v a 方向上的投影．

解：(1)v ＝v b －v a ＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．

(2)| v |·cos 〈v ，v a 〉＝v ·v a | v a |＝（－2，7）·（4，3）32＋42

＝－8＋215＝135. 10.

如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．

解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b ，

由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，

则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4，

则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝12

. 所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2

＝1＋2×12＋4＝6， 所以|a ＋b |＝ 6.

故对角线AC 的长为 6.

B 级 能力提升

11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，

则△PBC 与△ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C.23 D.34

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数学学习资料 解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，

得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，

即PC →＝2AP →，

所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．

故S △PBC S △ABC ＝|PC ||AC |＝23

. 答案：C

12．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，

且AB ＝1，则OA →·OB →＝________．

解析：因为圆x 2＋y 2＝1的半径为1，AB ＝1，

所以△AOB 为正三角形．

所以OA →·OB →＝1×1·cos 60°＝12

. 答案：12

13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1，1)，M 是圆C 上

的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的

轨迹方程．

解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，

由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)．

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数学学习资料 所以将?????x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y

代入方程：(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， 得x 2＋y 2＝1.

所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.