4[1].3_高阶微分方程的降阶和幂级数解法

§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法

一、可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式:1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是

F (t , x, x , , x ) 0' (n)

F (t , x ( k ) , x ( k 1) , , x ( n ) ) 0若令x(k )

(4.57)

) 0 (4.58) 若能求得(4.58)的通解 y (t , c1 , , cn k ) (k ) 即 x (t , c1 , , cn k ) F (t , y, y , , y'

y, 则可把方程化为y的n k阶方程( n k )

对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解

x (t , c1 , , cn ), 这里c1 , , cn为任常数

F (t , x ( k ) , x ( k 1) , , x ( n ) ) 0解题步骤:

(4.57)

令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:

F (t , y, y ' , , y ( n k ) ) 0第二步: 即 求以上方程的通解

y (t , c1 , , cn k )x(k )

(t , c1 , , cn k )

第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解

x (t , c1 , , cn ), 这里c1 , , cn为任常数

d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y 0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, d 4x 即有 ct, 4 dt对上式积分4次, 得原方程的通解为

x c1t 5 c2t 3 c3t 2 c4t c5 ,

2 不显含自变量t的方程,一般形式:

F ( x, x , , x ) 0,' (n)

(4.59)

此时以y x '作为新的未知函数, 而把x作为新的自变量,

dx 因为 y, dt 2 d x dy dy dx dy y , 2 dt dt dx dt dx dy d ( y ) dx d 3x d d 2x d dy dx (y ) dt 3 dt dt 2 dt dx dt dx d2y dy 2 y2 2 , y( ) dx dx

用数学归纳法易得:

dy d y x 可用y, , , ( k 1) (k n)来表达 dx dx(k )

( k 1)

将这些表达式代入(4.59)可得:

dy dy 2 2 d y F ( x, y, y , y ( ) y , ) 0 2 dx dx dx即有新方程

2

dy d ( n 1) y G ( x, y, , , ( n 1) ) 0 dx dx它比原方程降低一阶

解题步骤:第一步:

令y x ' , 并y为新的未知函数, x为新的 自变量, 原方程化为 dy d ( n 1) y G ( x, y, , , ( n 1) ) 0 dx dx

第二步:

求以上方程的通解

y ( x, c1 , , cn 1 )第三步: 解方程

dx ( x, c1 , , cn 1 ) dt

即得原方程的通解

d 2 x dx 2 例2 求方程x 2 ( ) 0的通解. dt dt dx 解 y, 并以x作为新的自变量, 令 dt dy 2 y 0 则方程化为 xy dx dy y , 从而可得 y 0, 及 dx x 这两方程的全部解是 y c1 x, dx 再代回原来变量得到 c1 x, dt c1t 所以得原方程的通解为 x c2e ,

3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶

(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt的非零解 令

(4.69)

x x1 y

则

x x1 y x y' ' ' 1

x x1 y 2 x y x y'' '' ' 1 ' '' 1

代入(4.69)得

x1 y [2 x p(t ) x1 ] y [ x p(t ) x q(t ) x1 ] y 0'' ' 1 '

'' 1 ' 1

即

x1 y [2 x p(t ) x1 ] y 0'' ' 1 '

引入新的未知函数 z y ,'

x1 y '' [2 x1' p(t ) x1 ] y ' 0

dz x1 [2 x1' p(t ) x1 ]z 0 方程变为 dt是一阶线性方程,解之得 则 因而

c p (t ) dt z 2e , x1

1 p (t ) dt y c2 2 e dt c1 , x1 1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1 (4.70)

这里c1 , c2是任常数.

令c1 0, c2 =1得(4.69)的一个解:

1 p (t ) dt x2 x1 2 e dt , x1因它与x1之比不等于常数, 故x1 , x2线性无关因此 (4.69)的通解为

1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1这里c1 , c2是任常数.

(4.70)

d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt 解题步骤: 第一步: 令x x1 y方程变为'' ' 1

(4.69)

x1 y 2[ x p(t ) x1 ] y 0 第二步: 令z y '方程变为 dz ' x1 2[ x1 p(t ) x1 ]z 0 dt'

解之得 即

1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1

c p (t ) dt z 2e , x1

(4.70)

第三步: 令c1 0, c2 =1得与x1线性无关一个解:

1 p (t ) dt x2 x1 2 e dt , x1第四步: (4.69)的通解为

1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1这里c1 , c2是任常数.

(4.70)

注

一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)

sin t d 2 x 2 dx 是方程 2 x 0的解, 例3 已知x t dt t dt 试求方程的通解.解

2 sin t p(t ) , x1 这里 t t 2 2 dt t 由(4.70)得 x sin t [c c e t dt ] 1 2 2 sin t t sin t t2 1 [c1 c2 2 2 dt ] t sin t t sin t [c1 c2 cot t ] t 1 [c1 sin t c2 cos t ] 这里c , c 是任常数. 1 2 t

(2) 一般已知齐线性方程

dnx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x 0 n dt dt 的k个线性无关的解x1 , x2 , , xk ,

(4.2)

显然xi 0, i 1, 2, , k , 令x xk y, 则x xk y x y' ' ' k ' '' x'' xk y '' 2 xk y ' xk y n(n 1) '' ( n 2) (n) ' ( n 1) ( n) xk y nxk y xk y xk y 2

x

(n)

代入(4.2)得