第五章 定积分及其应用

第五章 定积分及其应用

函数的导数与微分反映的是函数局部的性质，而定积分则是反映函数整体性质的一个全新概念.背景源于求平面曲边图形的面积和求变速直线运动物体位移的问题.

定积分和不定积分看似两个不相关的问题，经过许多数学家努力地研究，尤其是牛顿和莱布尼兹的工作，发现了定积分可以在一定条件下通过不定积分来计算，这也就是著名的牛顿—莱布尼兹公式.

本章从几何学与力学问题出发引进定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法，最后简单介绍定积分在几何、物理、经济等几方面的应用．正是因为在实际应用中的巨大作用，决定该理论在高等数学里占有极其重要的地位.

第一节 定积分的概念

一、定积分的实际背景

1. 计算曲边图形的面积

在实际问题中，我们常遇到计算各类平面图形面积的情况，如圆、三角形、矩形等面积，这些运用初等数学知识就能解决．而对于由任意曲线所围成的平面图形的面积，一般用初等数学知识是无法解决的．下面就将介绍计算此类图形面积的方法．

问题1：设y f(x)在区间[a,b]上的非负、连续.由直线x a，x b，x轴及曲线

y f(x)所围成的图形（如图5-1），称为曲边梯形，x轴上的线段[a,b]称为底，曲线y f(x)称为曲边，求曲边梯形面积A.

图5-1

由图5-1可知，若f(x)在区间[a,b]上是常数，则图形变成矩形，其面积为：

面积=底 高

而对于一般的曲边梯形，由于其高f(x)在区间[a,b]上是变动的，无法直接用矩形面积公式去计算．但曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是连续变化的，根据连续函数的性质，当区间很小时，高f(x)的变化也很小，近似于不变．因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，那么，每个窄曲边梯形就可近似看成这样得到的窄矩形，

那么所有窄矩形面积之和就可作为曲

边梯形面积的近似值．如果将区间[a,b]无限细分下去，即让每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积．其具体步骤如下：

(1) 分割——分成n个小曲边梯形

将[a,b]任意分成n个小区间，设分点依次为

a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn b

n个小区间为[xi 1,xi] (i 1,2, ,n)

每个小区间长度记为 xi xi xi 1(i 1,2, ,n);

过各个分点作垂直于x轴的直线，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形（如图5-2），小曲边梯形的面积记为 Ai (i 1,2, ,n)．

(2) 近似代替——以直代曲

在每个小区间[xi 1,xi]上任意取一点 i(xi 1 i xi)，作以f( i)为高，底边为 xi

的窄矩形（如图5-2），其面积为f( i) xi，用此面积作为窄曲边梯形的 Ai近似值，即

Ai f( i) xi (i 1,2, ,n)．

(3) 求和——求n个小矩形面积的和

求n个窄矩形面积的加，就得到曲边梯形面积A的近似值，即

n

n

i

A

A

i 1

i 1

f( i) xi

(4)取极限——由近似值过渡到精确值

为了求得曲边梯形的面积A，只需令小区间长度的最大值 max xi 趋于零（这

1 i n

n

时分段数n无限增大,即n ），若和式

n

i 1

f( i) xi的极限存在，则此极限值就是曲边

梯形面积A的精确值，即A lim

0

i 1

f( i) xi

图5-2

综上所述，求曲边梯形的面积就可归结为求一个和式的极限． 2．变速直线运动的位移

问题2：设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时间间隔在[T1,T2]上的连续函数，且v(t) 0，t 0，要计算这段时间内所走的位移s．

解决这个问题的思路和步骤与上个问题类似：

若速度v(t)在区间[T1,T2]上是常数，也即物体作匀速直线运动，其位移为

位移=速度 时间

而对于一般的变速直线运动，由于其速度v(t)在区间[T1,T2]上是变动的，无法用匀速直线运动位移公式来计算．但由于变速直线运动的速度v(t)在区间[T1,T2]上是连续变化的，根据连续函数的性质，当时间间隔很小时，速度v(t)的变化也很小，近似不变．因此，如果时间间隔[T1,T2]分成许多小时间间隔，在每个小时间间隔上就可以用某一时刻的速度近似代替该时间间隔上变速直线运动的速度．那么，在每个小时间间隔就可近似看成匀速直线运动，那么所有小时间间隔上匀速直线运动位移之和就可作为整个时间内所走的位移的近似值．如果将时间间隔[T1,T2]无限细分下去，即让每个小时间间隔都趋于零，这时所有小时间间隔上匀速直线运动位移之和的极限就可定义为整个时间内变速直线运动所走的位移．其具体步骤如下：

(1) 分割——将整个时间间隔分成n个小时间间隔 将[T1,T2]任意分成n个小区间，任取分点为

T1 t0 t1 t2 ti 1 ti tn 1 tn T2

[T1,T2]分成 n个小时间段，每个小时间段长为 ti ti ti 1 （i 1,2, ,n） 记每个小时间段的位移为 si． (2) 近似代替——以匀代变

把每小时间段[ti 1,ti]上的运动近似看成匀速直线运动，任取时刻 i [ti 1,ti]，把

v( i)作为[ti 1,ti]内每时每刻的速度，作乘积v( i) ti，显然这小段时间所走位移 si

可近似表示为 v( i) ti（i 1,2, ,n），即

si v( i) ti (i 1,2, ,n)．

(3) 求和——求n个小时间间隔位移之和

把n个小段时间上的位移相加，就得到整个时间间隔内所走的位移s的近似值，即

n

s

v(

i 1

i

) ti．

(4) 取极限——由近似值过渡到精确值．

为了求得整个时间间隔内所走的位移，当 max ti 0 时，若

1 i n

上述总和的极限存在，则此极限值变速直线运动的位移s的精确值，即

n

s lim

0

v(

i 1

i

) ti．

综上所述，求变速直线运动的位移也是归结为和式的极限．

二、定积分的概念

我们看到，上面的两个问题分别来源自于物理和几何方面的问题，尽管它们的具体含义相差甚远，但解决问题的方法却完全类似，概括起来就是：“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤，并且都最终归结为同一特定和式的极限．在其他的自然和科学技术领域当中，这样类似的问题也普遍存在．所以抛开它们各自所代表的实际意义，抓住共同本质与特点加以概括，就抽象出定积分的定义．

定义1 设函数y f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]上任意插入若干个分点

a x0 x1 x2 x3 xn 1 xn b，

将区间[a,b]分成n个小区间

[x0,x1],[x1,x2], ,[xn 1,xn]

各小区间的长度依次记为 xi xi xi 1(i 1,2, ,n)，在每个小区间[xi 1,xi]上任取一点

i(xi 1 i xi)，作乘积f( i) xi(i 1,2, ,n)的和式

n

S

i 1

f( i) xi．

记 max{ xi}，如果不论对区间[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi 1,xi]上点 i怎样

1 i n

n

取法，只要当 0时，和式 f( i) xi总趋于确定的极限I，则称f(x)在[a,b]上可积，

i 1

ba

并称此极限I为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作

b

n

f(x)dx，即

a

f(x)dx I lim

0

i 1

f( i) xi

其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间．

根据 …… 此处隐藏：8758字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……