有关伴随矩阵的性质

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第28卷 第3期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 28 No.3 2008年 5 月 Journal of Science of Teachers′College and University May 2008

文章编号：1007-9831（2008）03-0021-04

有关伴随矩阵的性质

朱焕，关丽杰，范慧玲

1

2

1

（1．黑龙江八一农垦大学 数学系，黑龙江 大庆 163319；2．牡丹江师范学院 数学系，黑龙江 牡丹江 157012）

摘要：研究了矩阵与伴随矩阵的联系，通过研究矩阵的性质和计算技巧，总结、推导了其伴随矩阵的若干性质．

关键词：矩阵；伴随矩阵；性质

中图分类号：Ｏ151.21 文献标识码：A

1 伴随矩阵的概念

A11 A= 12

# A 1n

A21A22#A2n

""#"

An1 An2

，其中Aij为元素aij的代数余子式，# Ann

设n阶矩阵A=aij

()

n×n

．记A*=(Aij)n×n

则称A*为A的伴随矩阵．A*由矩阵A而来，因此可以从A出发推得A*的若干性质．

2 伴随矩阵的基本性质

性质1性质2性质3

[1]177

AA=AA=AIn，当A可逆时，有A(A*)T=(AT)*．

** 1

A*

=，即A*=AA 1． A

[2]532 [2]533

若A可逆，则(A*) 1=(A 1)*．

0r(A)<n 1

性质4 设A为n阶方阵（n≥2)，则r(A*)= 1r(A)=n 1．

nr(A)=n

证明

（1）当r(A)=n时，则A可逆，由性质1知A*可逆，即r(A*)=n． （2）当r(A)=n 1时，AA*=AIn=0．一方面由AB=0时，r(A)+r(B)≤n

[3]152

可知， r(A*)≤1；

另一方面由于r(A)=n 1，则A至少有一个n 1阶子式不为0，即r(A*)≥1．故有r(A*)=1．

（3）当r(A)<n 1时，A的n 1阶子式全为0，此时有r(A*)=0． 证毕． 性质5 证明

A*=A

n 1

．

n

n 1

A可逆时，由性质1知A*=AA 1，A*=AA 1=A

．

收稿日期：2007-12-22

作者简介：朱焕（1982-），女，黑龙江嫩江人，助教，从事基础数学研究．E-mail：zhuhuan1982@http://www.77cn.com.cn

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22 高 师 理 科 学 刊 第28卷

A不可逆时，r(A)≤n 1，A=0．

（1）当n≥2时，由性质4知，若r(A)<n 1，此时r(A*)=0，自然有A*=Ar(A*)=1<n，此时A*=A

n 1

n 1

=0．若r(A)=n 1，

=0．

n 1

（2）当n=1时，由于A=0，所以A=0，故A*=0，此时A*=A 性质6

[2]539

=0．

综上所述，性质5成立． 证毕．

(kA)*=kn 1A*．

n 2

性质7 (A*)*=A 证明

A．

a

若A为二阶矩阵，设A= c

n 2

b d* ，则A= cd b a**

, (A)= ca

n 1

b

，此时有d

n 2

(A*)*=A=A

A成立．下证A的阶数n>2时的情况：

当A≠0时，由性质1及性质6知(A*)*=AA 1

()

*

=A

n 1

A)

1

*

=A

AA)=

1n 2

AA．

当A=0时，知r(A)≤n 1．若r(A)=n 1，则r(A*)=1<n 1，由性质4知r((A*)*)=0，从而 (A*)*=0=A

n 2

A．若r(A)<n 1，则r(A*)=0，即A*=0，故(A*)*=0=A

A．

综上所述，性质7成立． 证毕． 性质８ (AB)*=B*A*．

证明 当A, B均可逆时，A*=AA 1, B*=BB 1，所以B*A*=ABB 1A 1, (AB)*=AB(AB) 1=

ABB 1A 1．从而(AB)*=B*A*．

当A, B至少有一个不可逆时，考虑矩阵A+xIn, B+xIn．当x足够大时，可保证A+xIn, B+xIn均可逆，此时有[(A+xIn)(B+xIn)]*=(B+xIn)*(A+xIn)*．而[(A+xIn)(B+xIn)]*=(B+xIn)*(A+xIn)* 左右两端均为有关x的多项式，2个多项式对应相等意味着变量x取任意值时都成立，特别的，对x=0时 证毕． 也成立，即有(AB)*=B*A*． 性质９ 若n阶矩阵A的特征值为λ1, λ2, ", λn，则A*的特征值为一切的λiλi"λi (i=1, ", n)．

1

2

n 1

J1

证明 设A的若当标准形为J=

i=1, 2, ", s．

J2

%

λi

1 1

，且A=PJP，其中Ji=

Jn

*

λ1 = *

λi

%

%1

， λi

由于下三角的伴随矩阵也是下三角矩阵，则可知J=PA(P)

**** 1

λ*

2

%

，其中 * λn

*********

λ1, λ*2, ", λn是伴随矩阵J的特征根．而A与J有相同的特征根，所以λ1, λ2, ", λn也是A的特征

根．而直接计算J的n 1阶主子式可知λ*1≤i1<"<in 1≤n, i=1, ", n)． 证毕． i=λiλi"λi (

1

2

n 1

性质10 若A可逆，则A*可表示为A的多项式．

证明 设A的特征多项式为f(λ)=λIn A=λn+a1λn 1+"+an 1λ+an．由于A可逆，故

f(0)=an=( 1)nA≠0．由哈密顿—凯莱定理知f(A)=An+a1An 1+"+an 1A+anIn=0，所以 1 1A An 1+a1An 2+"+an 2A+an 1In =In，故A 1= (An 1+a1An 2+"+an 2A+an 1In)．

an an

()

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第3期 朱焕，等：有关伴随矩阵的性质 23

由性质1，A=AA

* 1

，所以A=

*

A

an

(An 1+a1An 2+"+an 2A+an 1In)=( 1)n+1(An 1+

a1An 2+"+an 2A+an 1In)． 证毕．

性质11 设r(An×n)=n 1, f(λ)=λIn A=λn β1λn 1+"+( 1)n 1βn 1λ+( 1)nβn，则A*的一个特征根为βn 1，其余为0．

证明 由于r(An×n)=n 1，所以r(A*)=1，故A*的特征根至少n 1个为0．设A*的另外一特征根为λ0，则有λ0=trA*=βn 1． 证毕． A1 性质12 设A1, A2为n阶阵，A= 0

A1A20 *

，则A=

0A2

*

1

． A2A1 0

A1A20 0 ． 证明 当A1, A2均可逆时，知A可逆，此时A=AA* 1 =

A1 A2A1 0

若A1, A2至少一个不可逆时，可仿照性质8的证明过程构造A1+xIn, A2+xIn，令其可逆进行证明．

A 1

=A1A2 2

0

证毕．

３ 伴随矩阵的继承性

由A*与A的联系，矩阵A所具备的特点其伴随矩阵A 一样具备．

性质13（特殊矩阵的伴随矩阵）阵的特殊性．

性质14 若A为可逆矩阵，则A*也为可逆矩阵（可由性质1得出）． 性质15

[1]177

[4]202

单位矩阵、上（下）三角矩阵及对角矩阵的伴随矩阵继承原矩

若A为对称矩阵，则A*也为对称矩阵．

性质16 若A为正交 …… 此处隐藏：4288字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……