高数微积分基本公式大全

高等数学微积分公式大全

一、基本导数公式⑴(c)′=0⑷(cosx)′= sinx⑺(secx)′=secx tanx⑼ex

⑵x=µx

µ

µ 1

⑶(sinx)′=cosx

2

⑸(tanx)′=secx⑹(cotx)′= cscx

2

⑻(cscx)′= cscx cotx

⑽ax

()′=e(

x

x

()′=a

x

lna

⑾(lnx)′=

1x

⑿loga

1)′=xln

a

11+x2

⒀(

arcsinx)′=

⒁(

arccosx)′=⒂(arctanx)′=⒃(arccotx)′=

1

⒄1+x2

(x)′=

1⒅

=′二、导数的四则运算法则

(u±v)′=u′±v′

⑴d(c)=0

⑷d(cosx)= sinxdx⑺d(secx)=secx tanxdx⑼de

(uv)′=u′v+uv′

⑵dx

u ′u′v uv′ =

v2 v

⑶d(sinx)=cosxdx

2

三、微分公式与微分运算法则

()=µx

µ

µ 1

dx

⑸d(tanx)=secxdx

⑹d(cotx)= cscxdx

2

⑻d(cscx)= cscx cotxdx

⑽da

()=edx

x

x

()=a

x

x

lnadx

⑾d(lnx)=

1

dxx

⑿dloga

(

x

1

dx)=xlna

1

dx2

1+x

⒀d(

arcsinx)=

⒁d(

arccosx)=⒂d(arctanx)=⒃d(arccotx)=

1

dx2

1+x

四、微分运算法则⑴d(u±v)=du±dv⑶d(uv)=vdu+udv五、基本积分公式⑴kdx=kx+c

⑵d(cu)=cdu⑷d

u vdu udv =vv2

∫

xµ+1

⑵∫xdx=+c

µ+1

µ

⑶

dx

∫x=lnx+c

ax

⑷∫adx=+c

lna

x

⑸edx=e+c

∫

xx

⑹cosxdx=sinx+c

∫

⑺sinxdx= cosx+c⑼

∫

⑻

12

=csc∫sin2x∫xdx= cotx+c

12

dx=sec∫cos2x∫xdx=tanx+c1⑽∫

dx=arctanx+c2

1+x

⑾

dx=arcsinx+c

六、补充积分公式

∫tanxdx= lncosx+c∫secxdx=lnsecx+tanx+c

11x

dx=arctan+c∫a2+x2

aa

∫cotxdx=lnsinx+c∫cscxdx=lncscx cotx+c

11x a

dx=ln+c∫x2 a2

2ax+

a

x

=arcsin+c

a

=lnxc

七、下列常用凑微分公式积分型

换元公式

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

f(ax+b)dx=f(xµ)xµ 1dx=

1

f(ax+b)d(ax+b)a∫1µ

u=ax+b

∫

f(xµ)d(xµ)

u=xµu=lnxu=ex

1

f(lnx) dx=∫f(lnx)d(lnx)

x

f(ex) exdx=∫f(ex)d(ex)f(ax) axdx=

1xx

fada()()lna∫

u=axu=sinx

∫f(sinx) cosxdx=∫f(sinx)d(sinx)

f(cosx) sinxdx= ∫f(cosx)d(cosx)f(tanx) sec2xdx=∫f(tanx)d(tanx)f(cotx) csc2xdx=∫f(cotx)d(cotx)f(arctanx)

1

dx=∫f(arctanx)d(arctanx)1+x2

u=tanxu=cotx

u=arctanx

八、分部积分法公式

⑴形如xneaxdx，令u=x，dv=edx

∫∫∫∫∫

∫

nax

形如xnsinxdx令u=x，dv=sinxdx形如xncosxdx令u=x，dv=cosxdx⑵形如xnarctanxdx，令u=arctanx，dv=xdx形如xnlnxdx，令u=lnx，dv=xdx

⑶形如eaxsinxdx，eaxcosxdx令u=eax,sinx,cosx均可。

n

n

n

n

∫

九、第二换元积分法中的三角换元公式

十、重要公式

令x=asint

(2)

令x=atant

(3)

令x=asect

sinx

（1）lim=1

x→0x

（4）=1

n（2）lim(

1+x)=e

x→0

1

x

（3）a>o)=1

n（5）limarctanx=

x→∞

π2

（6）limarctanx=

x→ ∞

π2

（7）limarccotx=0

x→∞

（8）limarccotx=π

x→ ∞

（9）lime=0

x→ ∞

x

（10）lime=∞

x→+∞

x

（11）limx=1+

x→0

x

a0

b0nn 1

a0x+a1x+L+an

（12）lim= 0

x→∞bxm+bxm 1+L+b01m ∞

十一、下列常用等价无穷小关系（x

n=mn<m

n>m

（系数不为0的情况）

→0）

arctanx x

1 cosx

12x2

sinx xtanx xarcsinx x

ln(1+x) x

ex 1 xax 1 xlna

(1+x)

1 x

十二、三角函数公式1.两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A B)=sinAcosB cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB sinAsinBtanA+tanB1 tanAtanBcotA cotB 1

cot(A+B)=

cotB+cotAtan(A+B)=

2.二倍角公式

cos(A B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A B)=

tanA tanB1+tanAtanBcotA cotB+1

cot(A B)=

cotB cotA

sin2A=2sinAcosAtan2A=

2tanA1 tan2A

cos2A=cos2A sin2A=1 2sin2A=2cos2A 1

3.半角公式

sin

A

=2AsinA==2

1+cosA

cos

A

=2AsinA

==21 cosA

tancot

4.和差化积公式

sina+sinb=2sin

a+ba b

cos22a+ba b

cosa+cosb=2cos cos

22tana+tanb=

sin(a+b)cosa cosb

sina sinb=2cos

a+ba b

sin22a+ba b

cosa cosb= 2sin sin

22

5.积化和差公式

1

sinasinb= cos(a+b) cos(a b) 2

1

sinacosb= sin(a+b)+sin(a b) 2

6.万能公式

cosacosb=

cosasinb=

1

cos(a+b)+cos(a b) 2

1

sin(a+b) sin(a b) 2

2tan

a

sina=

1+tan2

2

2tan

7.平方关系

acosa=

1+tan2

2

1 tan2atana=

1 tan2

2csc2x cot2x=1

sin2x+cos2x=1

8.倒数关系

sec2x tan2x=1

secx cosx=1

tanx cotx=1cscx sinx=1