材料力学重点及其公式

材料力学重点

材料力学重点及其公式

材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

PdP

应力： p lim正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。

AdA A 0杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限

b破坏，塑性材料在其屈服极限 s时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材

s b

料、脆性材料的许用应力分别为：

n3，nb，强度条件：

max

N Nmax

A max

，等截面杆 A

l

l

轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为： l l1 l，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为： ，

bb1 bNP'

。横向应变为： ' ，横向应变与轴向应变的关系为： 。 AAbb

Nl

EA

d d 。物理关系——胡克定律 G G 。力dxdx

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 E ，这就是胡克定律。E为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得： l

静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设 学关系T

A

dA 2G

A

d d

Gdxdx

A

2dA 圆轴扭转时的应力： max

TT

；圆轴扭转的强度条件： R

IpWt

max

T

[ ] ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 Wt

圆轴扭转时的变形：

TTTl

；等直杆： dx lGIp lGIp

GIp

圆轴扭转时的刚度条件：

Td T

max [ ] ， max

dxGIpGIp

d2M x dQ x dM x dQ(x)

Q x ； q x 弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系 q(x)；

dxdxdxdx2

Q、M图与外力间的关系

a）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 c）在梁的某一截面。

dM x Q x 0，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 dx

d）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。

材料力学重点

梁的正应力和剪应力强度条件 max

Mmax

， max W

提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩Mmax，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状 塑性材料： t c ，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料： t c ， 采用T字型或上下不对称的工字型截面。

等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。

用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 简单超静定梁求解步骤：（1）判断静不定度；（2）建立基本系统（解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构）；（3）建立相当系统（作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统）；（4）求解静不定问题。 二向应力状态分析—解析法 （1）任意斜截面上的应力

x y

2

x y

2

，

cos2 xysin2 ；

x y

2

sin2 xycos2

（2）极值应力 正应力：tg2 0

2 xy

x y

x y2 max x y

2

() xy min 22

x y2 x y max 2) xy切应力：tg2 1 ， (

min 22 xy

（3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

与 1之间的关系为：2 1 2 0

2

, 1 0

4

，即：最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45°

扭转与弯曲的组合（1）外力向杆件截面形心简化（2）画内力图确定危险截面（3）确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论，强度条件为： 1 3 或

2 4 2 ， 对于圆轴，Wt 2W，其强度条件为：

M2 T21

[ ]。按第四强度理论，强度条件为： 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ，经化简得出：

W2

2 3 2 ，对于圆轴，其强度条件为：

M2 0.75T2

W

[ ]。

2E 2E欧拉公式适用范围（1）大柔度压杆（欧拉公式）：即当 1，其中 1 时， cr 2（2）中等柔度压杆（

P

经验公式）：即当 2 1，其中 2

a s

时， cr a b （3）小柔度压杆（强度计算公式）：即当 2时，b

cr

F

s。 A

压杆的稳定校核（1）压杆的许用压力： P

Pcr

， P 为许可压力，nst为工作安全系数。（2）压杆的稳定条件：P P nst

提高压杆稳定性的措施：选择合理的截面形状，改变压杆的约束条件，合理选择材料

外力偶矩计算公式 （P功率，n转速）

材料力学重点

弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式

轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式

（杆件横截面轴力FN，横截面面积A，拉应力为正）

轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x

轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）

纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）

纵向线应变和横向线应变

泊松比

胡克定律

受多个力作用的杆件纵向变形计算公式

承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式

轴向拉压杆的强度计算公式

许用应力

， 脆性材料

，塑性材料

延伸率

截面收缩率

剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）

拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式

圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆

（b）空心圆

材料力学重点

圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r ）

圆截面周边各点处最大切应力计算公式

扭转截面系数

， （a）实心圆

（b）空心圆

薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式

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