次转置矩阵的可对角化条件

高等数学 学术论文

第27卷 第2期

Vol. 27 No. 2 新乡学院学报：自然科学版 2010年4月 Journal of Xinxiang University: Natural Science Edition Apr. 2010

次转置矩阵的可对角化条件

夏银红，赵文菊

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

摘 要：在次转置矩阵性质的基础上，给出了次转置矩阵逆矩阵的结论，并根据矩阵对角化理论，给出并

证明了次转置矩阵可对角化的条件。

关键词：次转置矩阵；可逆矩阵；对角化

中图分类号：O151.21 文献标志码：A 文章编号：1674–3326(2010)02–0001–01 Diagonalizable Conditions of the Sub Transposed Matrix

XIA Yin-hong, ZHAO Wen-ju

(Department of Mathematics and Science, Huanghuai University, Zhumadian 463000, China)

Abstract: On the basis of the nature of sub transposed matrices, the invertible matrix of sub transposed matrices is

given, and according to the theory of matrix diagonalization, the sufficient and necessary condition on diagonalization of the sub transposed matrix is proved.

Key words: sub transposed matrices; invertible matrix; diagonalizable.

0 引言

次转置矩阵和矩阵对角化是矩阵理论和高等代数中重要且广泛应用的理论。若一个n阶矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化。文献[1]给出了n阶矩阵相似对角化的条件；许必才给出了关于由特征矩阵求特征值和特征向量的一种方法—将矩阵相似对角化[2]；曲贺梅、王鸿绪给出了次转置矩阵的一些性质[3]。在这些研究的基础上，笔者给出了次转置矩阵逆的结论，若n阶方阵A可逆，则AST也可逆，且(AST) 1=(A 1)ST，并结合矩阵对角化理论，给出并证明了在数域F上n阶矩阵A的次转置矩阵AST可对角化的充分必要条件是存在n个数λ1,λ2,λ3, ,λn及n个线性无关的列向量P1,P2, ,Pn，使得ASTPi=λiPi，(i=1,2, ,n)，这对研究次转置矩阵的对角化问题将起到重要作用。

1 预备知识

定义1：设A=(aij)是m×n矩阵，称AST=(aST其中aST,2, ,m； pq)m×n为A的次转置矩阵，pq=am q+1,n p+1(q=1

p=1,2, ,n)，

a12 a1,n 1a1n amn a11 a aa22 a2,n 1a2n 21 m,n 1 ST ，那么，有A= 一般地，如果A= aa aam 1,1m 1,2m 1,n 1m 1,n am2

am2 am,n 1amn am1 am1

定理1：如果A=(aij)是m×n矩阵，则(AST)ST=A。 am 1,nam 1,n 1 am 1,2am 1,1 a2n a2,n 1 a22 a21a1n a1,n 1 。 a12 a11 定理2：如果A=(aik)和B=(bkj)分别是m×t和t×n矩阵，则(AB)ST=BSTAST。

STSTST A2A1。 定理3：设A1,A2, ,Ak是n矩阵，在可进行乘法运算时，有(A1A2 Ak)ST=Ak

作为特例，我们有

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收稿日期：2010-01-08 修回日期：2010-03-25

作者简介：夏银红(1981－)，女，河北唐山人。硕士生，研究方向：计算数学。E-mail: xia_xue_626@http://www.77cn.com.cn。

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N新乡学院学报：自然科学版 2010年 满足 ω(x)+∑bj(x)ωxj+g(x,ω(x))≥0，x∈ ； ωn≤0，x∈ ，且ω(x0)=ω,则有g(x0,ω(x0))≥0。

j=12)若ω∈C2( )∩C1()满足 ω(x)+∑bj(x)ωxj+g(x,ω(x))≤0，x∈ ； ω n≥0，x∈ ，且ω(x0)=ω，

j=1N则g(x0,ω(x0))≤0。

定理4：若(u,v,w)是系统(1)的任意正解，则有u≥a1，v≥a2，v≥a3。 证明：由d1 u+u(a1 u)<0，x∈ ； u n=0，x∈ ，若u(x0)=u，则由极大值原理可知u(x0) (a1 u(x0))<0，所以，u(x0)>a1，即u≥a1。同理可证v≥a2，v≥a3。 参考文献：

[1] COSNER C, LAZER A. Stable Coexistence States in the Volterra-Lotka Competition Model with Diffusion[J]. Application Mathematics, 1984, 44: 1122-1132.

[2] BLAT J, BROWN J. Bifurcation of Steady state Solutions in the Predator-prey and Competition Systems [J]. Royal Society of Edinburgh, 1984, 97: 21-34.

[3] KORMAN P, LEUNG A. On the Existence and Uniqueness of Positive Steady State in the Volterra-Lotka Ecological Models with Diffusion[J]. Application Analysis, 1987, 26: 145-160.

[4] KIM K I, LIN Z G. Blow-up in a Three-species Cooperating Model[J]. Applied Mathematics Letters, 2004, 17: 89-94.

[5] WANG M X. Stationary Patterns for a Prey-predator Model with Prey-dependent and Ratio-dependent Functional Responses and Diffusion[J]. Physica D, 2004, 196: 172-192.

[6] HENRY D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations[M]. New York: Springer-Verlag, 1993: 840.

[7] LOU Y, NI W M. Diffusion, Self-diffusion and Cross-diffusion[J]. J Differential Equations, 1996, 131: 79-131.

【责任编辑 王云鹏】

（上接第1页）

定理4：若A是n阶方阵，k是任意正整数，则有(Ak)ST=(AST)k。

定理5：设A是数域F上的m×n矩阵，对任意的a∈F，则有(aA)ST=a(AST)。

定义2：设A是数域F上n阶矩阵，如果存在可逆阵P，使P 1AP为对角阵，那么，A称为可对角化矩阵。

2 主要结论

定理6：若n阶方阵A可逆，则AST也可逆，且(AST) 1=(A 1)ST。

证明：先证AST也可逆。由于n阶方阵A可逆，故存在矩阵B,使得AB=E。由定理2可知，(AB)ST= BSTAST=(E)ST=E，则AST也可逆。再证(AST) 1=(A 1)ST。由于(AST)(A 1)ST=(A 1A)ST=EST=E,则有(AST) 1=(A 1)ST。

λ3， ，定理7：数域F上n阶矩阵A的次转置矩阵AST可对角化的充分必要条件是存在n个数λ1，λ2，

λn及n个线性无关的列向量P1,P2, ,Pn使ASTPi=λiPi，(i=1,2, ,n)。

证明：先证必要性。设AST∈Mn(F)是可对角化矩阵，即存在可逆阵P，使P 1ASTP=diag(λ1,λ2, , λn),其中λ1,λ2, ,λn∈F。又设P1,P2, ,Pn是P的n个列向量，由于P是可逆的，向量组P1,P2, ,Pn线性无关，并且ASTP=AST(P1,P2, ,Pn)=(P1,P2, ,Pn)diag(λ1,λ2,λ3, ,λn)，即有(ASTP1,ASTP2, ,ASTPn)= (λ1P1,λ2P2, ,λnPn)，故有ASTPi=λiPi，(i=1,2, ,n)。

再证充分性。如果存在Fn中n个线性无关P1,P2, ,Pn的向量及n个数λ1,λ2, ,λn，满足式ASTPi=λiPi，(i=1,2, ,n)，那么，取P=(P1,P2, ,Pn)T∈Mn(F)，就有如下结论：P 1ASTP=diag(λ1,λ2,λ3, ,λn)，即AST可对角化。

参考文献：

[1] 华中科技大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2003：144-151.

[2] 许必才.矩阵相似对角化的初等变换求解[J].西华大学学报，2005，24(2)：11-12.

[3] 曲贺梅，王鸿绪.一些n阶方阵的基本性质[J].琼州大学学报，2005，12(2)：3-6.

【责任编辑 王云鹏】