数学：2.2《椭圆的标准方程》优秀课件(苏教版选修2-1)

学习目标1.理解并会叙述椭圆的定义。 2.会由定义推导椭圆的标准方程。 3.会求椭圆的标准方程。

椭圆的第一定义作椭圆.gsp

一.课题引入：

生 活 中 的 椭 圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？

我们的太阳系

行星运行的轨道

椭圆的形成过程

二.讲授新课： 1 .椭圆定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(一般用2c表示)。 注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方： (1) 必须在平面内;F1 F2 M

(2)两个定点---两点间距离确定; (3)定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.

(4)|MF1|+|MF2|>|F1F2|

探究:(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的 距离和为10,则M点的轨迹是什么? 椭圆(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为6,则M点的轨迹是什么? 线段AB (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为5,则M点的轨迹是什么? 不存在

感悟:(1)若|MF |+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.1

(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.

2.求椭圆的方程：

复习求曲线方程的方法步骤是什么？建系： 建立适当的直角坐标系； 设点： 设M(x,y)是曲线上任意一点； 列式： 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0; 化简： 化简方程f(x,y)=0. 证明： 说明曲线上的点都符合条件，(纯粹性); 符合条件的点都在曲线上(完备性)。

(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)

2.求椭圆的方程： 探讨建立平面直角坐标系的方案y y y F1O O O

y M

y F2O

MO 2 F

xx x

x

x

F1

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”

解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线 为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭 M 圆的焦距2c(c>0),M与F1和F2的距 离的和等于正常数2a (2a>2c) ,则 F1、F2的坐标分别 是( c,0)、(c,0) . F2 F1 0 由椭圆的定义得：

x

| MF1 | | MF2 | 2a MF | ( x c)2 y2 , | MF | ( x c)2 y2 | 1 2 代入坐标

( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a(问题：下面怎样化简？)

( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a移项，再平方

(x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 (x c)2 y2 即： 2 cx a ( x c)2 y 2 a两边再平方，得

a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2

整理得：2 c2 ) x2 a2 y 2 a2 (a2 c2 ) (a由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, a 2 c 2 0,

设a 2 c 2 b 2 (b 0),

则上式变为 2 x2 a2 y2 a2b2 b

两边同除以a b 得：

2 2

椭圆的标准方程

x2 y2 2 1( a b 0 ). 2 a b

椭圆的标准方程⑴x y 2 1 (a b 0) 2 a b它表示：2 2

y M

F1

0

F2

x

① 椭圆的焦点在x轴② 焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0)

③ c2= a2 - b2 思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是 怎样的呢

椭圆的标准方程⑵y x 2 1 (a b 0) 2 a b它表示:2 2

y

F2M O F1 x

① 椭圆的焦点在y轴

( y c)2 x2 ( y c)2 x2 2a

② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c)

③ c2= a2 - b2

3.椭圆的标准方程:F1

yM

o

F2 x

x2 y2 焦点在x轴： 2 2 1 a b 0 a b

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2ayF2M

y2 x2 焦点在y轴： 1(a b 0) a 2 b2

oF1

x

( y c)2 x2 ( y c)2 x2 2a总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式

3.椭圆标准方程的再认识：定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y yM F 2M

图 形

F 1

o

F2 x

oF 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 2 1 a b 0 2 a b

y2 x2 2 1 a b 0 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. x 2 项分母较大. 不同点：焦点在x轴的椭圆 y 2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆

例题精析例1】判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。

x y (1) 1 答：在 X 轴。(-3,0)和(3,0) 25 16

2

2

x2 y2 ( 2) 1 144 169

答：在 y 轴。(0,-5)和(0,5) 答：在y 轴。(0,-1)和(0,1)

x y (3) 2 2 1 m m 1

2

2

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。

例2、填空：

x2 y2 已知椭圆的方程为： 25 16 1 ,则 4 3 a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐标 56 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;若CD为过 20 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________ Y C O F1 F2

X

D

x y 1 9 16

2

2

变式： 若椭圆的方程为 16x2 9 y 2 144 ,试口答完成(1).