7.5三角形内角和定理(2)

科

目：八年级数学上

主 备 人：李郊林议 课 组：第三议课组 议课时间：2013.12.23 授课时间：2013.12.25

学习目标(1分钟) 1、认识三角形外角及内角和定理的两个 推论及其证明 2、会运用三角形内角和定理的两个推论 解决相关问题

自学指导(2分钟)1.由一个公理或定理直接 推导出的定理，叫做这 个公理或定理的推论。推论可以当作 定理使用 .

2.三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .

推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 .

内角的一条边与另一边的反向延长线组成的角 3、三角形的外角： 。

4、一个三角形有 3 个外角；每个外角与相邻内角之 和等于 180° ;三角形的内角和等于 180° ;三角形的 外角和等于 360° 。 学生自学，教师巡视(5分钟)

自学检测(12分钟)1、根据“三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和” 可知： ∠1= ∠ ∠2= ∠ ∠3= ∠ 三式相加得： ∠1+∠ 2+ ∠3 =2( ∠ 4 + ∠ 而 ∠4+∠5 + ∠6= 180º 。 ∠1+∠ 2+ ∠3= 360º 比较(1)与(2)可得：2

A

5

+∠ 6

. . .B3

56 41

4 +∠ 6 4 +∠ 5

C

5 +∠ 6

)

(1) (2)

2.如图∠1=35°,∠2=78°,∠3的 67° ;如果∠4=16° 度数等于_______ 那么∠2-∠5 A 16 ° 的度数等于_______. 3.已知：如图所示,在△ABC中, ∠DCA=100°,∠A=45° 求：∠B和∠ACB的大小. B 4.已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A; (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.B D C A45°

100°

C

D

答案 3.已知：如图所示,在△ABC中, ∠ DCA=100°,∠A=45° 求：∠B和∠ACB的大小.

A45°

解：∵ ∠DCA是△ABC的 100° 一个外角(已知) B C D ∠DCA=100°(已知) ∠A=45°(已知) ∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和) 又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角的定义) ∴ ∠ACB=80°(等式的性质)

4.已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A; (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.

B D A

证明(1) :延长BC交AC于E E ∵∠BDC是△DEC的一个外角 C ∴∠BDC>∠DEC (三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角) ∵∠DEC是△ABE的一个外角 ∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个 和它不相邻的内角) ∴∠BDC>∠A (不等式的性质)

B

4.已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A; (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.

D

A

E

C 证明： (2)∵∠BDC是△DEC的一个外角 ∴∠BDC =∠C+∠DEC (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∵∠DEC是△ABE的一个外角 ∴∠DEC=∠A+∠B (三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和) ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C (等量代换)

点拨：三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于1800.

推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

内角的和.

推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

能从内和外、相等和不等的不同角度对三角 形的角作更全面的思考。

讨论、更正 例2 已知:如图，在△ABC中, AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠C= ∠EAC(等式性质)

E A

·

D

B

·C例题是运用了 定理“内错角 相等,两直线 平行”得到了 证明.

∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义)

∴∠DAC=∠C(等量代换) ∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 还有其它方法吗？

E 已知:如图在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. A

·

D

证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) C B ∠B=∠C (已知) ∴∠B= ∠EAC(等式性质) 这里是运用了公理“同 位角相等，两直线平行 ∵ AD平分∠EAC(已知) ”得到了证明. ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义)

·

∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)

当堂训练(17分钟) 1、求下列各图中∠1的度数。1

90°30°

60°

85°35 °

120 °

1

95°45 ° 50 °

1

2、比较角的大小。 (1)∠ACD > ∠A (<、>); (2)∠ACD > ∠B (<、>)3、如图，已知AB∥CD,∠A=50°, ∠C=∠E.则∠C=( B ) A.20° B.25° A C.30° D.40°

A

BB 50° C

CD E

D

4 已知：在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上 一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2.选做题 A

D 23 5 E 4 C 1 B

F

1、如图：是一个五角星，求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 2.已知：如图在△ABC中，AD⊥BC于D,AE平分 ∠BAC(∠C>∠B),求证：∠EAD= 1 (∠C-∠B)A

2

AE

B C

D

B

ED C

4 已知：在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上 一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2.

D 2 E 5 4 3

C

证明： A F ∵ ∠1是△ABC的外角 (已知) ∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)

1 B

∵∠3是△CDE的一个外角 ∴∠3>∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)

∴ ∠1>∠2 (不等式的性质)

1.如图1:是一个五角星， A 求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), B∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和). H2 1F

E

C 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质)

D

2.已知：如图在⊿ABC中，AD⊥BC于D, AE平分∠BAC(∠C>∠B), A 1 求证：∠EAD= 2 (∠C-∠B) 解：∵AE平分∠BAC, 1 ED C ∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC B 2 ∵∠BAC

=180°-(∠B+∠C) ∴∠EAC= 1 [180°-(∠B+∠C)] 2 ∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C, ∵∠EAD=∠EAC-∠DAC 1 ∴∠EAD= 2 [180°-(∠B+∠C)](90°-∠C)= 1 (∠ C∠B). 2