【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修2双基限时练30

【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修2双基限时练30

双基限时练(三十)

1．已知直线ax－by＋c＝0(abc≠0)，与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )

A．是锐角三角形 C．是钝角三角形

B．是直角三角形 D．不存在

|c|

解析 直线与圆相切，则圆心到切线的距离d1，∴a2

a＋b＋b2＝c2，故三角形为直角三角形．

答案 B

2．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( )

A．5 C．5－4

B．25－2 D．2

解析 两圆心之间的距离为 2－0 ＋ 5－1 ＝25>4＝r1＋r2，∴两圆相离，∴A、B两点之间的最短距离为25－4.

答案 C

3．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2－(x2＋y2－1)2＝0表示的图形是( ) A．都是两个点 B．一条直线和一个圆

C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆 D．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆

解析 x(x2＋y2－1)＝0 x＝0，或x2＋y2－1＝0，则它表示一条直线x＝0和一个圆x2＋y2＝1；

x2－(x2＋y2－1)2＝0 (x＋x2＋y2－1)(x－x2－y2＋1)＝0， ∴x＋x2＋y2－1＝0，或x－x2－y2＋1＝0.

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即(x＋2)＋y＝4(x－2＋y＝4C. 答案 C

4．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )

A．y3x 3C．y3x

B．y＝－3x 3

D．y＝－3

解析 设切线方程为y＝kx，圆的方程化为(x＋2)2＋y2＝1，而圆心(－2,0)到直线y＝kx的距离为1，

|－2k|3∴1.∴k＝3.

k＋13

又∵切点在第三象限，∴k3. 答案 C

5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )

A．－33 C．－2或2

B.3 D.2

1

解析 ∵∠POQ＝120°，∴点O到直线y＝kx＋1的距离d＝2又|0＋0＋1|1d＝＝2k＝3 k＋1

答案 A

6．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是____________． |1＋1－4|解析 半径r＝2

2则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

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答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2

7．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是________．

解析 由题意知CA⊥PA， ∴|CP|2＝|CA|2＋|PA|2.

∵C(－1,0)，|CA|＝2，|PA|＝1， 设P的坐标为(x，y)， 则(x＋1)2＋y2＝5. 答案 (x＋1)2＋y2＝5

8．与圆x2＋y2＝4切于点P(－13)的切线方程为________． 解析 圆心(0,0)，kOP3，

3

∴切线的斜率k＝3，又切点为(－13)， 3

∴切线方程为y－33(x＋1)， 即x3y＋4＝0. 答案 x3y＋4＝0

9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.

a

－1，－解析 由题意可知，直线x－y＋2＝0过圆心2 ，所以－1

a

－ －2 ＋2＝0，a＝－2.

答案 －2

10．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.

(1)求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程； (2)从圆C外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，

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且|PM|＝|PO|，求使|PM|最小时点P的坐标．

解 (1)设横、纵截距相等的切线方程为 kx－y＝0与x＋y＋c＝0，则

|2＋c||2k|

2，解得k＝±1，c＝－4，或c＝0. ＝2与21＋k

故切线方程为x＋y＝0，x－y＝0，x＋y－4＝0. (2)设P(x，y)，由|PM|＝|PO|，得

1

[ x－2 ＋y]－2x＋y，化简得点P的轨迹为直线x＝211

使|PM|最小，即要使|PO|最小，过O作直线x＝2P(20)是所要求的点．

11．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0， y

(1)求x的最值； (2)求y－x的最值； (3)求x2＋y2的最值．

解 (1)∵圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3，其圆心为(2,0)，半径为y

3.设xk，即y＝kx.

|2k－0|

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值．k＋1＝3，解得k＝3.

y

∴x33.

(2)设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得|2－0＋b|

3，即b＝－6.∴y－x的最大

2

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值为－26，最小值为－26.

(3)x2＋y2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，

∴x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋4，最小值为(2－3)2＝7－3.

12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2外一点P(2，－1)，过点P作圆C的切线PA，PB，其中A，B是切点．

(1)求PA，PB所在的直线方程； (2)求|PA|，|PB|的值； (3)求直线AB的方程．

解 (1)由圆心C(1,2)，点P(2，－1)及半径r2知，切线斜率一定存在．设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.

∵圆心到切线的距离等于半径． |k－2－2k－1|∴2， k＋1

即k2－6k－7＝0.解得k＝－1或k＝7.故切线方程为x＋y－1＝0或7x－y－15＝0.

即PA，PB所在的直线方程分别为x＋y－1＝0,7x－y－15＝0. (2)∵|PC|＝ 2－1 ＋ －1－2 10， ∴|PA|＝|PB|＝|PC|－r＝2.

x＋y－1＝0， x＝0，(3)由 解得 22

x－1 ＋ y－2 ＝2， y＝1，

∴A(0,1)．

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7x－y－15＝0，由 22

x－1 ＋ y－2 ＝2，

12 x＝ 5解得 9

y＝ 5

∴B 129 5，5

.

故直线ABy－1x－0

912，即5－150

x－3y＋3＝0.